亞聲速流動

對這種無粘亞聲速流動作理論研究的原因有兩方面：首先，實際氣體運動的基本方程太複雜，很難求解，而對一些具體問題，例如計算機翼的舉力，粘性的影響很小，可以忽略，使基本方程簡化，便於求解。其次，對於某些流動問題（例如機翼的阻力），即使粘性不能忽略，也可以在無粘流的理論基礎上再考慮粘性影響，進行求解。

流動特點亞聲速流動和超聲速流動的主要區別有兩方面：

①流速v與流管橫截面積A的關係不同。在定常流動中，沿流管存在下列關係：

式中v為流速;Μa為當地馬赫數；ρ為氣體密度。在亞聲速流動中(Μa<1),密度相對變化│dρ/ρ│小於速度的相對變化。在低馬赫數時,例如在Μa≤0.3的範圍內,可以完全忽略密度的變化;把氣體視為不可壓縮流體（即ρ為常數），這種低馬赫數下的亞聲速流動稱為低速流動或不可壓縮流動。對於不可壓縮流動,ρ為常量，研究起來容易得多。ρ為變量的流動稱為可壓縮流動,其中Μa恆小於1的流動即為亞聲速流動,Μa恆大於1的流動稱為超聲速流動。由上式可以看出，不管是亞聲速流動還是超聲速流動，如速度增加，密度就減小。但就流管橫截面積A而言，在亞聲速時，若A減小，則流速增大；在超聲速時，若A增大，則流速也增大（見氣體動力學）。

②當物體在靜止氣體中運動時，如果運動速度低於聲速，則它對氣體的擾動可傳播到全流場；當運動速度超過聲速時，擾動的範圍是有限的。若把物體看成是一個點擾源，擾動侷限於擾源的後馬赫錐內（見超聲速流動），而傳不到物體的遠前方。

基本方程式流體流動時服從自然界的一些普遍規律，如質量守恆，動量守恆，能量守恆等。表達這些規律的方程式，稱為基本方程式。無粘勻直流流過靜止物體時，若流動是亞聲速的，從理論上可以證明，流動一定是無旋的，有速度勢ф(x,y,z)存在，在直角座標系中它與速度的關係為：

式中

、

、

分別為沿 x、y、z方向的分速。由於存在速度勢ф，可以將運動學和動力學分開,只須求出一個未知函數ф，問題大為簡化。下面給出用速度勢ф表示的低亞聲速流動和亞聲速流動的基本方程式：

①低亞聲速流動（不可壓縮流動） 此時Μa≤0.3，可以忽略密度變化，將流動視為不可壓縮流動。基本方程為下列拉普拉斯方程：

方程(4)是線性的,可以先找出一些基本解，然後應用解的疊加原理求出滿足具體邊界條件的解。對於定常流動（見非定常流動），例如無粘勻直流繞過靜止物體的流動，在速度勢ф求出後，由式(3)即可求出流場中的速度分佈

、

、

。再利用不可壓縮流動的伯努利方程(見伯努利定理),就可求出流場中的壓強分佈p(x,y,z)和物面上的壓強分佈，於是可以很容易地求出物體所受的作用力（例如機翼的舉力）。

分析無粘不可壓縮流動問題的關鍵在於根據具體的邊界條件，求拉普拉斯方程(4)的解。 對於複雜的物形（邊界條件也複雜），例如整架飛機，要用計算機求解。如果物形比較簡單，例如大展弦比直機翼（這是低速飛機常用的一種機翼），可用一些近似理論（如舉力線理論、舉力面理論）近似求解。對平面不可壓縮位勢流問題，除速度勢ф(x,y)外，還存在流函數Ψ(x,y),兩者的關係為：

式(5)在數學上稱為柯西-黎曼條件，在此條件下存在復位勢：

式中

，這樣，解具體流動的問題，就化為按具體邊界條件求復位勢w的問題。利用複變函數理論中的保角變換法，可以較容易地求解條件較複雜的流動問題。

②亞聲速流動 無粘勻直流流過靜止物體時是等熵流動，而且存在速度勢Φ（x，y，z），它服從下述基本方程：

式中c為當地聲速。方程(7)為非線性方程,很難求解,對於低亞聲速流動（即不可壓縮流動），c→

，上式就變成拉普拉斯方程(4)。從物理意義上説,亞聲速流動與不可壓縮流動在流動特點上沒有本質上的不同，就方程而言，式(4)和式(7)都屬於橢圓型偏微分方程，所以亞聲速流動與不可壓縮流動只有量的差別。由於不可壓縮流動的理論和實驗研究都已取得一定的結果，可根據不可壓縮流動這些結果,作一些量的修正,得出相應的亞聲速流動的結果。在小擾動條件下的修正方法有普朗特-格勞厄脱法則，卡門-錢學森公式等。方程(7)中所有各項的係數都只是速度的函數(聲速c也可以通過能量方程化為速度的函數)，因而對於平面流動在以速度分量vx、vy為直角座標的速度面上,該方程變成線性的，可以應用疊加原理求問題的解。這種方法稱為速度圖法。在速度圖法中，基本方程是線性化的、簡單的。但對具體問題，邊界條件卻複雜化了，求精確解仍存在很大困難。