五邊形數

五邊形數是能排成五邊形的多邊形數。其概念類似三角形數及平方數，不過五邊形數和三角形數及平方數不同，所對應的形狀沒有旋轉對稱（Rotational symmetry）的特性。

第 n個五邊形數可用以下公式求得

且n>0。

首幾個五邊形數為1,5,12,22,35,51,70,92,117... (OEIS:A000326)，其奇偶排列是“奇奇偶偶”。

第n個五邊形數是第3n-1個三角形數的

。首n個五邊形數的算術平均數是第n個三角形數。

利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。

若n不是自然數，則x不是五邊形數。

依照費馬多邊形數定理，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和。在小於10⁶的整數中，只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示： ^[1] 

9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS:A133929)

而以下210個整數需用4個五邊形數的和來表示：

4, 8, 9, 16, 19, 20, ..., 20250, 33066 (OEIS:A003679)

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，其產生的數列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

在歐拉的整數分拆理論中，五邊形數定理説明廣義五邊形數和整數分拆的關係。 ^[2] 

用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有5(n-1)個，因此在內部的點個數為：

剛好也是一個廣義五邊形數。所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和。若三角形數可以被3整除，則除以3之後的數必為廣義五邊形數。

第n個五邊形數可用公式n(3n-1)/2求得，且

。

設第n個五邊形數為

，那麼

，即序列為：1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ...

對應圖形如下：

設五邊形數的生成函數為，那麼有：

以上是五邊形數的情況。下面是關於五邊形數定理的內容：

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數展開式的特性。歐拉函數的展開式如下：

即：

可見，歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

，其中

為

的分割函數。上式配合五邊形數定理，有：

在

時，等式右側的係數均為0。因此可得到分割函數的遞歸式：

所以，通過上面遞歸式，我們可以很快速地計算的整數劃分方案數了。