二階系統

二階系統 控制系統按數學模型分類時的一種形式.是用數學模型可表示為二階線性常微分方程的系統.二階系統的解的形式,可由對應傳遞函數W(s)的分母多項式P(s)來判別和劃分.P(s)的一般形式為變換算子s的二次三項代數式,經標準化後可記為

代數方程P(s)=0的根,可能出現四種情況:

1.兩個實根的情況,對應於兩個串聯的一階系統.如果兩個根都是負值,就為非週期性收斂的穩定情況.

2.當a1=0,a2>0,即一對共軛虛根的情況,將引起頻率固定的等幅振盪,是系統不穩定的一種表現.

3.當a1<0,a1-4a2<0,即共軛復根有正實部的情況,對應於系統中發生發散型的振盪,也是不穩定的一種表現.

4.當a1>0,a1-4a2<0,即共軛復根有負實部的情況,對應於收斂型振盪,且實部和虛部的數值比例對輸出過程有很大的影響.一般以阻尼係數ζ來表徵,常取

在0.4~0.8之間為宜.當ζ>0.8後,振盪的作用就不顯著,輸出的速度也比較慢.而ζ<0.4時,輸出量就帶有明顯的振盪和較大的超調量,衰減也較慢,這也是控制系統中所不希望的.

標準形式的二階系統的微分方程是

或

上兩式中，T稱為系統的時間常數。稱為系統的阻尼係數或阻尼比，稱為系統的無阻尼自然振盪頻率或自然頻率。K為放大係數。

標準二階系統的結構圖

標準形式二階系統的閉環傳遞函數為

二階系統是控制系統中應用最廣泛、最具代表性的系統。同時，二階系統的分析方法也是分析高階系統的基礎。 ^[1] 

二階系統的特徵方程為

特徵方程的二個根為

這也是二階系統的閉環極點。
　　從式可以看出，二階系統的參數，是變化的，取值不同，特徵方程的根（即閉環極點）可能是複數，也可能是實數。系統的響應形式也因此會有較大的區別。
　　在單位階躍函數輸入下，二階系統的輸出為

下面分幾種不同的情況來討論二階系統的單位階躍響應。
　　1.無阻尼狀態
　　當二階系統的阻尼比等於0時，我們稱二階系統處於無阻尼狀態或無阻尼情況。

2欠阻尼狀態
　　當二階系統的阻尼係數大於0小於1時，我們稱二階系統的單位階躍響應是欠阻尼情況或者説二階系統處於欠阻尼狀態。

3.臨界阻尼狀態
　　當阻尼比等於1時，我們稱二階系統處於臨界阻尼狀態或臨界阻尼情況。

4.過阻尼狀態
　　當阻尼比大於1時,我們稱二階系統處於過阻尼狀態或過阻尼情況。 ^[1] 

1.控制系統的動態特性性能指標
　　控制系統動態特性的優劣，是通過動態特性性能指標來評價的。控制系統動態特性的性能指標通常是按系統的單位階躍響應的某些特徵量來定義的。多數控制系統的動態過程都具有振盪特性。因此我們選擇欠阻尼振盪過程為典型代表，來定義動態特性的性能指標，並用這些指標來描述控制系統的動態過程品質。這些指標主要有：上升時間、峯值時間、最大超調量、衰減率、調節時間、振盪頻率與週期、振盪次數等。 ^[1]