二重級數

二重級數是二重序列的形式和，設{a_mn}是二重序列，把它的項按任意次序排列並以加號連結得到的表達式稱為二重級數，記為：

，　(1)

這裏m，n各自獨立地取正整數1，2，3，…數：

S_mn=

a_ij

稱為(1)的部分和 ^[2]  。

若二重極限：

S_mn=S(有限)，

則稱該二重級數收斂，S為它的和，記為：

S=

a_mn.

當這樣的S不存在時，稱這個二重級數發散，若：

|a_mn|

收斂，則稱(1)絕對收斂，類似於通常的級數(相對於二重級數，通常的級數稱為單級數)，可定義二重級數的條件收斂性，單級數的一些基本性質仍為二重級數所保持，例如，非負項二重級數收斂當且僅當其部分和有界，二重級數收斂的必要條件是a_mn→0(m，n→∞)，絕對收斂的二重級數必收斂(參見“絕對收斂級數”)等，對二重函數項級數，也可如函數項級數那樣引進一致收斂概念，並得到相應的柯西準則、M判別法等 ^[2]  。

設φ是正整數集N₊到N₊×N₊上的一一對應，則對二重級數(1)，可以得到級數：

a_φ(k).

φ稱為二重序列{a_mn}到序列

的重排，或二重級數(1)到單級數∑a_φ(k)的重排。若級數

|a_mn|，

|a_mn|，

|a_mn|，

|a_φ(k)|

之一收斂，則：

1.另三個也收斂，且它們的和相等(設為S)；

2.

與

均絕對收斂於S(

與

也絕對收斂)。

在一些文獻中，上述結論被稱為主要重排定理。由此可知，絕對收斂的二重級數的兩個疊級數也絕對收斂，有同一個和。由於二重級數的項的排列次序不惟一以及多種研究目的，因此，還有多種定義二重級數的部分和的方式，相應地也就有了不同的定義二重級數的和與收斂性的方式 ^[2]  。