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二維基本形

二維基本形(two-dimensional fundamental forms)是點場與線場的統稱。平面上所有點的集合稱為點場，該平面稱為點場的底。平面上所有直線的集合稱為線場，該平面稱為線場的底。其實，點場、線場在某種意義下都是平面的同義語，二維基本圖形是點場與線場的統稱。

二維基本形基本概念

在射影幾何中，所有幾何圖形都是由以下的基本形構成：

定義1 屬於一條直線

的所有點A，B，C，……的集合，稱為以

為底的點列。記作

定義2 一個平面上經過一點P的所有直線a，b，c，……的集合，稱為以P為中心的線束。記作

定義3 屬於一個平面

的所有直線A，B，C，……的集合，稱為以

為底的點場。記作

定義4 屬於一個平面

的所有直線a，b，c，……的集合，稱為以

為底的線場。記作

點列的點，線束的直線，其自由度均為1，故稱點列和線束為一維基本形。同理，點場和線場稱為二維基本形。也常把以

為底的點場和線場合稱為點線場^[1] 。

一維基本形的透視對應、射影對應，可推廣到二維基本形中，對點線場進行類似的討論。

其實若將點列、線束視為射影平面(二維射影空間)的子空間，則一維基本形的射影對應是平面到自身的元素間的對應，即二維的射影變換。

因此，二維射影變換是點線場的元素間的一一對應，且經變換四元素的交比不變。

其中將點變成點，直線變成直線的變換保同素性，稱為同素變換或直射變換，否則，稱為對射變換。

定義1 二平面的點之間的透視對應就是二平面之間點的一一對應，使得對應點的連線共點，如圖1。

圖1 二維射影變換

定義2 兩個平面間的一一對應，如果滿足下列條件^[2] ：

(1)保持點和直線的結合性；

(2)任何共線四點的交比等於其對應四點的交比，則此一一對應叫做射影對應。

同樣可以給出兩個平面間的直線間的射影對應的定義。

兩個平面的點之間或直線之間的射影對應是同素對應(點對應點從而直線對應直線，或直線對應直線從而點對應點)，通常我們只討論點到點間的同素對應，由射影對應定義可以看到以下性質：

(1)兩平面點之間的透視對應必是射影對應。

(2)若干次透視對應(透視鏈)的結果必為射影對應。

(3)兩平面間的射影對應是一種等價關係。

定義3 在定義2中，如果兩對應平面是重合的，則所建立的射影對應叫做該平面的射影變換。

我們所討論的射影對應和射影變換，一般都是同素的，簡稱為同素變換^[2] 。

參考資料

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