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二維分佈

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二維分佈(bivariate distribution)是同時考慮兩個隨機變量的情況，表示特性值或特性值組與相應頻率(或頻數) 之間的對應關係，或者是同時考慮的兩個隨機變量取給定值或屬於一個給定值集的概率分佈所確定的函數稱為二維分佈 [1]  。
中文名
二維分佈
外文名
two-dimensional distribution
所屬學科
數學
所屬領域
概率論
相關概念
隨機變量、概率分佈等
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 離散型二維分佈
  3. 3 連續型二維分佈

二維分佈定義

定義隨機變量ξ 和η (有時也稱為二維隨機向量（ξ，η）的二維(聯合)分佈函數為：
不難推知：（ξ，η） 落在矩形區域
上的概率為圖(1)：
圖1 圖1
二維分佈函數具有以下一些明顯的性質：
(1) F(x,y)是x和y的非減函數。
即：
，當
當
。
(2) 在-∞處分佈函數等於零，即
(3) 當任一個隨機變量的值趨於
時，便得到另一個隨機變量的(一維)分佈函數。
和
分別叫做隨機變量
和
的邊際分佈函數。
(4) 當x，y均趨向於﹢∞時，分佈函數趨於1。
下面分別研究通常所遇見的兩種類型的隨機變量的分佈 [2]  。

二維分佈離散型二維分佈

離散型二維隨機變量(D.B.R.V) r=r(X，Y)取值為有限或可列無限的向量(座標對)，則稱r(X，Y) 為離散型隨機變量 [3] 
其分佈律為
則由規範性有
稱為隨機向量r的分佈律，即隨機變量X和Y的聯合分佈律(Joint Distribution)，似矩陣的表格顯示：
表1

二維分佈連續型二維分佈

連續型二維隨機變量 如果存在非負可積二元函數f(x,y)，使得隨機向量r=r(X，Y) 的分佈函數F(x，y)可表示為f(x,y)的變上限積分形式
則稱(X，Y)為連續型二維隨機變量(C.B.R.V)；非負可積函數f(x,y)稱為(X，Y)的聯合概率密度(Bivariate Density Function) [3]  。
密度函數f(x,y)≥0的基本性質。
(1)非負性：f(x,y)≥0；
(2)規範性：
(3)概率意義：隨機點(X，Y)落在某平面域D上的概率是密度函數在區域上的二重積分(圖2)，即
(4)在f(x,y)的連續點處，有
圖2 隨機點(X,Y) 落在某平面域上的概率 圖2 隨機點(X,Y) 落在某平面域上的概率
即密度是二元分佈函數的二階混合偏導 [3]  。
參考資料
  • 1.    蒲倫昌．質量管理辭典：中國經濟出版社，1992年02月第1版
  • 2.    塗漢生，侯振挺．概率論初步：湖南科學技術出版社，1979.9
  • 3.    鄭勳燁．概率統計導引=Introduction to probability and statistics theory：國防工業出版社，2016.03