不確定度關係

它界定了用經典力學描述作為近似時的近似程度，又稱測不準關係。W.K.海森伯從想象中的實驗出發，基於德布羅意關係（見波粒二象性）得出測量座標的不確定度Δq與測量動量不確定度Δp二者之間應有ΔqΔp～ħ關係，此處ħ為普朗克常數h除以2π。

測量中的不確定度是量子力學描述的微觀粒子狀態性質的反映，並非測量手段的不完善所導致。用量子力學可以嚴格證明，在力學量算符q、p滿足對易關係[q,p]＝iħ條件下，它們的不確定度Δq和Δp必然滿足：ΔqΔp≥ħ/2不確定度定義為：式中〈〉符號代表力學量平均值。這是任意量子力學態的力學量不確定度的普遍性質。

不確定度關係在量子力學中有普遍的呈現。如一維諧振子的基態能量ħω/2（ω為振子角頻率）就是不確定度關係的體現。根據經典力學，最低能量態是粒子位於原點且動量為零，此時能量為零。根據不確定性原理，位於原點的粒子態(Δq＝0)動量可任意大，動量為零的粒子態(Δp＝0)座標可任意大，因此它的能量不可能最小。將能量對Δq或Δp的變化求極小值，就得到ħω/2，這是位置和動量的不確定性“協調”得到最低能量的結果。

這個能量被稱為零點能。零點能在物理學中是很重要的，如激發原子的自發輻射就是電子和電磁場的零點能（又稱真空漲落）相互作用的結果。物理學中各種體系的特徵能量尺度也可從不確定度關係直接得出。如原子大小為10−8釐米，將電子侷限在這個範圍，Δx≈10−8釐米。它的動量不確定度就是Δp～ħ/Δx，相應的能量數量級是E～(Δp)2/2m～4電子伏（m為電子質量）。類似地原子核的特徵能量大小為百萬電子伏數量級。量子力學中還有一個能量和演化時間的不確定度關係ΔEΔt～ħ。

它的地位和位置–動量不確定度關係不同。位置與動量是一對共軛力學量，滿足對易關係[q,p]=iħ。時間在量子力學中不是力學量，僅是個參數。用自由波包的演化可通過波粒二象性導出能量–時間的不確定度關係。波包的能量不確定度和動量不確定度的關係是：用E=ħω,p=ħk得到：因此ΔE=vgΔp。令波包寬度為Δx，則波包通過空間某一點所需的時間（時間不確定度）為Δt≈Δx/vg，故有ΔEΔt≈ΔxΔp≈ħ。

如果體系的亞穩態壽命為τ，則根據能量–時間的不確定度關係，它的能級寬度應該為ħ/τ。量子力學的定態是能量本徵態(ΔE=0)，因此壽命應為∞。

但原子的激發態壽命有限，這是因為電子和輻射場的真空漲落相互作用的結果（見量子電動力學）。當大量玻色子位於同一個量子狀態時（如單模激光或玻色–愛因斯坦凝聚），還有一種不確定度關係ΔNΔθ≥1，此處N、θ分別代表粒子數和狀態波函數的相位。作為算符，N,θ滿足[N,θ]=−i。在粒子數很大時可以應用，否則將θ作為量子算符有理論上的困難。

HEISENBERGW.PhysicalPrinciplesoftheQuantumTheory.Chicago:UniversityofChicagoPress,1930. ^[1]