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下三角矩陣
鎖定
一個矩陣稱為下三角矩陣如果對角線上方的元素全部為0。類似地,一個矩陣稱為上三角矩陣如果對角線下方的元素全部為0。
- 中文名
- 下三角矩陣
- 屬 性
- 數學領域術語
下三角矩陣定義
定義:若矩陣L具有下列形式:
若矩陣U具有下列形式:
則稱為上三角矩陣。
許多矩陣運算保持下三角性不變:
- 兩個下三角矩陣的和下三角。
- 兩個下三角矩陣的乘積是下三角。
- 一個可逆的下三角矩陣的逆是下三角。
- 下三角矩陣與常數相乘是一個下三角矩陣。以上性質對上三角矩陣也成立。
下三角矩陣嚴格上(下)三角矩陣
若上(下)三角矩陣對角線元素全是0,則稱為嚴格上(下)三角矩陣。
下三角矩陣原子三角矩陣
下三角矩陣例子
下三角矩陣方程組求解
一個矩陣方程形式
或
很容易解決的一個迭代過程給出求解。
Lx = b矩陣方程可以寫成一個線性方程組
下三角矩陣算法
下面給出一個C語言的算法實現:
public static double[] luEvaluate(double[][] L, double[][] U, double[] b)
{
// Ax = b -> LUx = b. Then y is defined to be Ux
double[] x = new double[b.Length];
double[] y = new double[b.Length];
// Forward solve Ly = b
for (int i = 0; i < b.Length; i++)
{
y[i] = b[i];
for (int j = 0; j < i; j++) {
y[i] -= L[i][j] * y[j];
}
y[i] /= L[i][i];
}
// Backward solve Ux = y
for (int i = b.Length - 1; i >= 0; i--)
{
x[i] = y[i];
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
x[i] -= U[i][j] * x[j];
}
x[i] /= U[i][i];
}
return x;
}