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三角函數公式

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三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的函數。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角座標系中定義的。其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。
三角函數公式看似很多、很複雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律，就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯繫。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在。
中文名
三角函數公式
外文名
Formulas of trigonometric functions
適用領域
幾何，代數變換，數學、物理、地理、天文等
應用學科
數學
物理
地理
天文地理等

目錄

  1. 1 定義式
  2. 2 函數關係
  3. 3 誘導公式
  4. 4 基本公式
  1. ▪ 和差角公式
  2. ▪ 和差化積公式
  3. ▪ 積化和差公式
  4. ▪ 倍角公式
  5. ▪ 半角公式
  6. ▪ 萬能公式
  1. ▪ 輔助角公式
  2. 5 其它公式
  3. ▪ 正弦定理
  4. ▪ 餘弦定理
  5. ▪ 降冪公式
  1. ▪ 冪級數
  2. ▪ 泰勒展開式
  3. ▪ 萬能公式
  4. ▪ 傅里葉級數

三角函數公式定義式


鋭角三角函數
任意角三角函數
圖形
直角三角形 直角三角形
任意角三角函數 任意角三角函數
正弦函數（sin）
餘弦函數（cos）
正切函數（tan）
餘切函數（cot）
正割函數（sec）
餘割函數（csc）
注：正切函數、餘切函數曾被寫作tg、ctg，現已不用這種寫法。
參考資料來源：現代漢語詞典 [1]  。

三角函數公式函數關係

倒數關係：①
；②
；③
。
商數關係：①
；②
。
平方關係：①
；②
；③
。

三角函數公式誘導公式

公式一：設
為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
公式二：設
為任意角，
與
的三角函數值之間的關係：
公式三：任意角
與
的三角函數值之間的關係：
公式四：
與
的三角函數值之間的關係：
公式五：
與
的三角函數值之間的關係：
公式六：
及
與
的三角函數值之間的關係：
記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限 [2]  ．即形如（2k+1）90°±α，則函數名稱變為餘名函數，正弦變餘弦，餘弦變正弦，正切變餘切，餘切變正切。形如2k×90°±α，則函數名稱不變。
誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”意義：
k×π/2±a(k∈z)的三角函數值
（1）當k為偶數時，等於α的同名三角函數值，前面加上一個把α看作鋭角時原三角函數值的符號；
（2）當k為奇數時，等於α的異名三角函數值，前面加上一個把α看作鋭角時原三角函數值的符號。
記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：
奇變偶不變：其中的奇偶是指π/2的奇偶數倍，變與不變是指三角函數名稱的變化，若變，則是正弦變餘弦，正切變餘切。
符號看象限：根據角的範圍以及三角函數在哪個象限的正負，來判斷新三角函數的符號。
記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成鋭角．
誘導公式 誘導公式
以誘導公式二為例：
若將α看成鋭角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函數的函數值在第三象限是負值，餘弦函數的函數值在第三象限是負值，正切函數的函數值在第三象限是正值。這樣，就得到了誘導公式二。
以誘導公式四為例：
誘導公式 誘導公式
若將α看成鋭角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數的三角函數值在第二象限是正值，餘弦函數的三角函數值在第二象限是負值，正切函數的三角函數值在第二象限是負值。這樣，就得到了誘導公式四。
誘導公式的應用：
運用誘導公式轉化三角函數的一般步驟：
誘導公式 誘導公式
特別提醒：三角函數化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數值；②注意誘導公式的靈活運用；③三角函數化簡的要求是項數要最少，次數要最低，函數名最少，分母能最簡，易求值最好。

三角函數公式基本公式

三角函數公式和差角公式

  • 二角和差公式
  • 三角和公式

三角函數公式和差化積公式

口訣：正加正，正在前，餘加餘，餘並肩，正減正，餘在前，餘減餘，負正弦．

三角函數公式積化和差公式

三角函數公式倍角公式

  • 二倍角公式
  • 三倍角公式
證明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a
cos3a
上述兩式相比可得：
tan3a
  • 四倍角公式
sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]
cos4a=8cos4a-8cos2a+1
tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a) [3] 
  • 五倍角公式
  • n倍角公式
應用歐拉公式：
.
上式用於求n倍角的三角函數時，可變形為：
所以
其中，Re表示取實數部分，Im表示取虛數部分．而
所以

三角函數公式半角公式

（正負由
所在的象限決定）

三角函數公式萬能公式

三角函數公式輔助角公式

證明：
由於
，顯然
，且
故有：

三角函數公式其它公式

三角函數公式正弦定理

正弦定理 正弦定理
詳見詞條：正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R．則有 [4]  ：
正弦定理變形可得：

三角函數公式餘弦定理

詳見詞條：餘弦定理
圖1 餘弦定理 圖1 餘弦定理
對於如圖1所示的邊長為a、b、c而相應角為α、β、γ的△ABC，有：
也可表示為：

三角函數公式降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2
cos²α=[1+cos(2α)]/2
tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角函數公式冪級數

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函數，其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數，這種級數稱為冪級數。

三角函數公式泰勒展開式

泰勒展開式又叫冪級數展開法
實用冪級數：
, （!!表示雙階乘）
在解初等三角函數時，只需記住公式便可輕鬆作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函數值、三角函數不等式、面積等等。 [5-6] 

三角函數公式萬能公式

三角函數公式傅里葉級數

傅里葉級數又稱三角級數
[7] 
參考資料
  • 1.    中國社會科學院語言研究所詞典編輯室．現代漢語詞典（第六版）．北京：商務印書館，2012：1116-1117
  • 2.    三角函數誘導公式揭秘  ．人民教育出版社課程教材研究所[引用日期2017-05-27]
  • 3.    張邦維，廖樹幟，實用金屬材料手冊，湖南科學技術出版社，2010.01，第15頁
  • 4.    人民教育出版社．初三數學下．北京：人民教育出版社，2012
  • 5.    Wilfred Kaplan著 劉柏宏 徐澧貽譯. 高等工程數學 （上冊）[M]. 1983.128
  • 6.    金路. 高等數學同步輔導與複習提高 第3版[M]. 2018.538
  • 7.    王偉剛，王海敏編. 經濟統計類數學分析 下[M]. 杭州：浙江工商大學出版社, 2022.09.196