三等分任意角問題

公元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法，正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的：以已知角的頂點為圓心，用適當的半徑作弧交角兩的兩邊得兩個交點，再分別以這兩點為圓心，用一個適當的長作半徑畫弧，這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這麼容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎麼樣呢？這樣，這一個問題就這麼非常自然地出現了。

公元前4世紀，托勒密一世定都亞歷山大城。他憑藉優越的地理環境，發展海上貿易和手工藝，獎勵學術。他建造了規模宏大的“藝神之宮”，作為學術研究和教學中心；他又建造了著名的亞歷山大圖書館，藏書75萬卷。托勒密一世深深懂得發展科學文化的重要意義，他邀請著名學者到亞歷山大城，當時許多著名的希臘數學家都來到了這個城市。

亞歷山大城郊有一座圓形的別墅，裏面住着一位公主。圓形別墅中間有一條河，公主的居室正好建立在圓心處。別墅南北圍牆各開了一個門，河上建了一座橋，橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。國王每天賞賜的物品，從北門運進，先放到南門處的倉庫，然後公主再派人從南門取回居室。

一天，公主問侍從：“從北門到我的卧室，和從北門到橋，哪一段路更遠？”侍從不知道，趕緊去測量，結果是兩段路一樣遠的。

過了幾年，公主的妹妹小公主長大了，國王也要為她修建一座別墅。小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣，有河，有橋，有南北門。國王滿口答應，小公主的別墅很快就動工了，當把南門建立好，要確定橋和北門的位置時，卻出現了一個問題：怎樣才能使得北門到卧室和北門到橋的距離一樣遠呢？

已知南門位置為P，卧室（圓心）為O，設北門位置為Q，橋為K，要確定北門的和橋的位置，關鍵是做出∠OPQ，設PO和河流的夾角是α

由 QK=QO，

得 ∠QKO=∠QOK

但是∠QKO=α+∠KPO，

又∠OQK=∠OPK

所以在△QKO中，

∠QKO+∠QOK+∠OQK

=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO

=3∠KPO+2α=180

即∠KPO=（180-2α）/3

只要能把180-2α這個角三等分，就能夠確定出橋和北門的位置了。解決問題的關鍵是如何三等分一個角。

但是不存在能三等分任意給定角的純尺規方法。

工匠們試圖用尺規作圖法確定出橋的位置，可是他們用了很長的時間也沒有解決。於是他們去請教阿基米德。

阿基米德用在直尺上做固定標記的方法，解決了三等分一角的問題，從而確定了北門的位置。正當大家稱讚阿基米德了不起時，阿基米德卻説：“這個確定北門位置的方法固然可行，但只是權宜之計，它是有破綻的。”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標記，等於是做了刻度，這在尺規作圖法中則是不允許的。

這個故事提出了一個數學問題：如何尺規三等分任意已知角，這個問題連阿基米德都沒有解答出來。

為了闡述尺規作圖的可能性的充要條件，首先需要把幾何問題轉換成代數的語言。一個平面作圖問題，前提總是給了一些平面圖形，例如，點、直線、角、圓等，但是直線是由二點決定的，一個角可由其頂點和每邊上取一點共三點決定的，圓由圓心和圓周的一點決定，所以平面幾何作圖問題總可以歸結為給定n個點即n個複數

(當然還有z₀=1)。尺規作圖過程也可以看作利用圓規和直尺不斷得到新的複數，所以問題就變成為：給了一批覆數

和z₀，能否從

出發利用尺規得到預先希望得到的複數Z。為討論方便給出如下遞歸定義： ^[1] 

定義：設S={Z₀=1_，Z_1，... Z_n}是n+1個複數，將

(1) Z₀=1_，Z_1，... Z_n叫做S-點；

(2) 過兩個不同的S-點的直線叫S-直線，以一個S-點為圓心、任意兩個S-點之間的距離為半徑的圓叫S-圓；

(3) 由S-直線與S-直線、S-直線與S-圓、S-圓與S-圓相交的點也叫S-點。

上面這個定義完全刻畫了尺規作圖過程，如果以P表示全體S-點的集合，那麼P也就是從S={Z₀=1_，Z_1，... Z_n}出發通過尺規作圖所得到的全部複數。

定理：設Z_1，... Z_n(n≥0)為n個複數。設F= Q(Z_1，... Z_n，Z₁'_，... Z_n')，(Z'代表共軛複數)，那麼，一個複數Z可由S={Z₀=1_，Z_1，... Z_n}作出的充要條件是 Z屬於F(u₁，... u_n)。 其中u₁²屬於F, u_i²屬於F(u₁，... u_i-1)。換言之，_Z^{含於F的一個2次根號擴張。}

系：設S={Z₀=1_，Z_1，... Z_n}，F= Q(Z_1，... Z_n，Z₁'_，... Z_n')，Z為S-點，則 [ F(z) ：F] 是2的方冪。

以下證明三等分任意角不可能性，證明尺規作圖不能三等分60度角：

證明：所謂給了60度角，相當於給了複數Z1=1/2+√3/2 i。從而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，當然也能得到cos20，但是cos20滿足方程 4x³-3x-1/2=0，即8x³-6x-1=0。由於8x³-6x-1在Q[x]中不可約，從而[Q(cos20)：Q]=3，於是

6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]

由於[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根據上面的系可知cos20不是S-點 ，從而20度不可能三等分。 證畢