一筆畫問題

也就是“一筆畫”。一筆畫圖形的必要條件是：奇點數目是0或者2。概述圖⑴的“七橋問題”A,B,C,D都是奇節點，數目是4，所以不能夠“一筆畫”。　我們把節點轉換回來，成為“節面”（區域），來考慮“一筆畫”。 ^[1] 

在平面中，4個或者4個以下的區域可以構成兩兩相連的區域，可以一筆畫。概述圖⑵。每個區域必須是單連通的，就是一個區域不能夠是分成2塊或者2塊以上。概述圖⑶就不是單連通的。這是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有兩兩相通的5個區域。緊緻封閉平面，在一個輪胎狀的表面，7個或者7個以下的區域可以構成兩兩相連的區域。可以“一筆劃”。把圖（A）上下對摺以後，再左右對摺，形成一個輪胎狀，7個區域兩兩相連。

兩兩相連的區域可以不經過其它區域到達任何一個區域。P。J希伍德以畢生精力研究四色定理，並且證明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色問題提出一個推測：在有P>1個洞的封閉曲面上，足以為任何地圖着色的最小數等於（左圖上下對摺再左右對摺就是一個輪胎，7個區域兩兩相連，可以一筆畫）。

數學家歐拉找到一筆畫的規律是：

⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。

⒉凡是隻有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。（有偶數個奇點除以二可以算出此圖至少需幾筆畫成。）

比如附圖：（a）為⑴情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。

◎頂點與指數：設一個平面圖形是由有限個點及有限條弧組成的，這些點稱為圖形的頂點，從任一頂點引出的該圖形的弧的條數，稱為這個頂點的指數。

◎奇頂點：指數為奇數的頂點。

◎偶頂點：指數為偶數的頂點

先定義能一筆畫出並回到起點的圖為歐拉圖，連通就是説任意兩個節點之間可以找到一條連接它們的線。這個要求看來很重要，直觀方法中與這一點對應的是説原圖本身不能是分成多個的。

設G為一歐拉圖，那麼G顯然是連通的。另一方面，由於G本身為一閉路徑，它每經過一個頂點一次，便給這一頂點增加度數2，因而各頂點的度均為該路徑經歷此頂點的次數的兩倍，從而均為偶數。反之，設G連通，且每個頂點的度均為偶數，欲證G為一歐拉圖。為此，對G的邊數歸納。當m = 1時，G必定為單結點的環，顯然這時G為歐拉圖。設邊數少於m的連通圖，在頂點度均為偶數時必為歐拉圖，現考慮有m條邊的圖G。設想從G的任一點出發，沿着邊構畫，使筆不離開

圖且不在構畫過的邊上重新構畫。由於每個頂點都是偶數度，筆在進入一個結點後總能離開那個結點，除非筆回到了起點。在筆回到起點時，它構畫出一條閉路徑，記為H。從圖G中刪去H的所有邊，所得圖記為G’，G’未必連通，但其各頂點的度數仍均為偶數．考慮G的各連通分支，由於它們都連通，頂點度數均為偶數，而邊數均小於m，因此據歸納假設，它們都是歐拉圖。此外，由於G連通，它們都與H共有一個或若干個公共頂點，因此，它們與H一起構成一個閉路徑。這就是説，G是一個歐拉圖。

1736年，歐拉證實：七橋問題的走法根本不存在。同時，他發表了“一筆畫定理”：一個圖形要能一筆畫完成必須符合兩個條件:

歐拉的研究開創了數學上的新分支――圖形與幾何拓撲。