Π-定理

由於各物理量之間存在規律性的聯繫，我們不必對每個物理量的單位都獨立地予以規定。我們可以選取一些物理量作為“基本量”，並且為每個基本量規定一個“基本量度單位”，其他物理量的量度單位則可以按照它們與基本量之間的關係式（定義或定律）導出，這些物理量稱為“導出量”，它們的單位稱為“導出單位”。按照此種方法構成的一套單位，構成一定的“單位制”。在不同的單位制中，不僅基本量的選取可以不同，基本量的數目也可以不同。例如，CGS單位制中有三個基本量，MKSA單位制中有四個基本量。

在選定了單位制之後，導出量的量度單位就可以由基本量度單位表達出來，這種表達式稱為該導出量的“量綱式”，設

是所選單位制中的

個基本單位，用

代表導出量

的量綱式，則

指數

稱為物理量

的“量綱指數”。

量綱可以看成是某個“矢量空間”中的“矢量”。於是，對

式兩端取對數，則有

這裏，若我們把

看作

維空間的“正交基矢”，則

就是“矢量”

在基矢上的投影，或者稱作“分量”。自然地約定，量綱式可以寫作：

所謂幾個物理量的量綱彼此獨立，是指無法用他們的冪次乘積組成無量綱的常數。用矢量的語言表達，就是代表量綱的矢量彼此線性無關。在

維空間內最多有

個彼此線性無關的矢量。

個矢量

線性無關的條件是由他們組成的行列式不等於零：

量綱分析法的理論基礎是Π-定理，這個定理是E.Buckingham ^[1]  在1914年提出的：

設某個物理問題涉及

個物理量（包括物理常量）

，而我們選取的單位制中有

個基本量

，則由此可組成

個無量綱的量

。在物理量

之間存在函數關係式

可相應表達為無量綱形式：

（在

的情況下有兩種可能：若

的量綱彼此獨立，則不能由他們組成無量綱的量；若不獨立，則還可能組成無量綱的量。）

設

個物理量的量綱為

其中最多隻能有

個是線性無關的。我們假定它們是其中的前

個，則其餘

個物理量中的任何一個都可表示為它們的線性組合，也就是

寫成分量形式，用矩陣表示，則有：

由於等式左端方陣的行列式不等於零，故對每個

有一組解

，共

組，這就是説，我們有

或者説

是一些無量綱的量，這樣無量綱量共有

個。

我們設想把

的量度單位分別改變為原來的

，則在這個單位制下這些量的數值

與原來的數值

有如下關係：

量綱關係式

表明，物理量

在新舊單位制之間的數值關係為

取

，由

和

式有

函數式

不應該受度量單位變化的影響，亦即我們有：

對於上述的特殊選擇，有

這就是

式，證畢.▏

Π定理可以表示為另一等價形式，這一形式在很多場合更便於使用。在一定問題中物體系的發展和演化往往由若干個變量決定，不妨叫做“主定參量”在上面的推演中，

實際上起着一組新基矢的作用，我們儘可以選為代表主定參量的量綱矢量。如果在其他的物理量中我們感興趣的是其中的某一個，譬如

，則我們可以從

式中把

解出來：

因

，並將

解出，於是有

這便是Π定理的另一種表述形式。 ^[3] 

Π-定理有許多應用，給出兩個例子。

設想兩塊無限大平面壁相距

，皆由理想導體構成。從經典理論看，兩壁之間應該沒有作用力，但若計及（相對論性）電磁場的量子真空漲落效應，求兩壁單位面積上的作用力

也即壓強和距離

的函數關係。

利用Π-定理解答是。除了距離

外，這裏涉及電磁場，有關的參量為真空中的光速

；還涉及到量子效應，有關的參量還有普朗克常數

，從量綱表

可以解出

，即

也就是説，

反比於

的四次方 ^[3]  。解答很簡單，揭示的思想和聯繫卻很深刻。

這個著名的定理，又稱畢達哥拉斯定理，也可以用量綱法來證明。

一個直角三角形的面積可由它的一邊（譬如斜邊

）和一個鋭角（譬如

）決定。

是無量綱的，根據定理的等價形式，可以寫出：

作

邊的垂線將三角形分成兩個與原來相似的小直角三角形，它們各有一個是

的角，所以它們的面積應該分別是

又因為

,所以

也就是

這便是勾股定理。