PID整定

PID控制算法(ProportionalIntegral-Differential，比例一積分一微分)作為一種最常規，最經典的控制算法，經過了長期的實踐檢驗。因為這種控制具有簡單的結構，對模型誤差具有魯棒性及易於操作等優點，在實際應用中又較易於整定，所以它在工業過程控制中有着廣泛的應用 ^[1]  。有調查表明，在煉油、化工、造紙等過程超過11,000個控制器中，有超過9796的控制器是PID類控制器 ^[1]  ,PID控制器在嵌入式系統中的應用也在增長[6]。

Ziegler-Nichol響應曲線法 ^[2]  ，是根據被控對象的階躍響應曲線獲取被控對象的模型式(1)，根據模型的增益K，時間常數T以及純滯後時間，再利用如下的經驗公式(2)整定PID控制器參數。

公式（1）：

公式（2）：

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一般來説由於Z-N整定的PID控制器超調較大。為此C.C.Hang提出改進的Z-N法[8]，通過給定值加權和修正積分常數改善了系統的超調。這種方法被認為是Z-N法最成功的改進。

Ziegler-Nichols臨界振盪法只對開環穩定對象適用。該方法首先對被控對象施加一個比例控制器，並且其增益很小，然後逐漸增大增益使系統出現穩定振盪·則此時臨界振盪增益就是比例控制器的數值K,，振盪週期就是系統的振盪週期凡，然後根據公式(3)整定PID控制器參數。

公式（3）：

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類似的整定方法有Cohen-Coon響應曲線方法[9]，該方法同Ziegler-Nichols響應曲線法操作相同，只是整定公式不同，其整定公式如式(4)：

公式（4）：

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為評價控制性能的優劣，定義了多種積分性能指標，基於誤差性能指標的參數整定方法 ^[3]  是以控制系統瞬時誤差函數e(θ,t)的泛函積分評價Jn(θ)為最優控制指標，它是評價控制系統性能的一類標準，是系統動態特性的一種綜合性能指標，一般以誤差函數的積分形式表示。其中Jn(θ)的基本形式如式(5)：

公式（5）：

n=0,m=0IAE

n=0,m=2ISE

n=1,m=2ISTE

Jn(θ)可以是ISE,1AE,1STE,1TAE等，然後經過尋優，搜索出一組PID控制器參數Kc，Ti，Td，使Jn(θ)的取值為最小，此時的PID控制器參數為最優。

根據內模控制系統 ^[4]  , ^[5]  與常規反饋控制系統間存在的對應關係，必要時對模型進行降階簡化處理，便可完成IMC-PID設計 ^[6] 

圖中Gp(s)為實際被控過程對象，Gm(s)為被控過程的數學模型，即內部模型，Q(s)為內模控制器，它等於Gm(s)的最小相位部分的逆模型。u為內模控制器的輸出，r，y，d分別為控制系統的輸入、輸出和干擾信號。

為抑制模型誤差對系統的影響，增強系統的魯棒性，在控制器中加入一個低通濾波器F(s)，一般F(s)取最簡單形式如下：

公式（6）：

式中階次n取決於模型的階次以使控制器可實現，r為時間常數。則內模控制等效的控制器為：

公式（7）：

對於如式(1)表示的一階加純滯後過程，採用一階Pade近似，得到如下模型：

公式（8）：

將式(8)的最小相位部分代入式(7)，可得到如下的PID控制器參數：

公式（9）：

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