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非常豐富除子
鎖定
非常豐富除子(Very ample invertible sheaf (or line bundle, or divisor)) 是代數幾何中最重要的一類對象。
滿足條件
2.這個映射是單射;
注:a一般的,invertible sheaf L 是非常豐富的,當且僅當存在immersion(嵌入,即開嵌入和閉嵌入的複合) f: X----> P^N (某射影空間),使得L同構於O(1)的拉回。
b上述條件中,1等價於L是由整體截面生成的(generated by global sections);1,2,3等價於L定義的態射是閉嵌入(closed immersion)。和a的等價性在於,proper的概形(scheme)在態射下的像是閉的。
需要注意的是,very ample invertible sheaf是一個相對的概念(與immersion有關)。與之相對應的絕對概念是豐富除子(ample invertible sheaf)。定義是,invertible sheaf L 是概形(Scheme)X 上的ample invertible sheaf 當且僅當 任給一個X上的凝聚層(coherent sheaf)F, 存在自然數n_0,使得任何n>n_0, F tensor L^(tensor n) 是由整體截面生成的(generated by global sections)。
兩者之間的關係是:L ample 當且僅當 存在充分大的n, 使得L^(tensor n)是very ample的。
例子:1. 光滑射影代數曲線上的除子 D 是ample當且且僅當 deg(D)> 0。
2. 光滑射影代數曲面上的除子 D 是ample 當且僅當 D.D>0 且 任何一條曲面上的不可約代數曲線C, D.C> 0。
3. 一個ample但不very ample的例子:橢圓曲線上對應一個點的invertible sheaf。
注意:關於invertible sheaf (秩為一的局部自由層),divisor和line bundle的等價性的討論,可以參見Hartshore Chapter 2.5 2.6。
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