鏈羣

鏈羣(chain group )是建立同調羣的重要概念。設K是一個n維復形，它的全體q維單形的集合記為{_i|i=1，2，…，α_q，q=0，1，…，n}。設s_i是q維單形_i任意選定了一個定向後形成的有向單形，當q=0時，記s_i=+〈a_i〉，則這樣的有向單形組： ^[1] 

稱為復形K的有向單形的一個基本組。對於整數加羣Z中的整數g_i，約定g_is_i=(-g_i)(-s_i)，則以整數為係數的任意一個線性組合：

稱為K的一個q維鏈；當其係數全為零時，這個鏈用0表示。若另有q維鏈：

定義它們的和為：

則對這樣的加法，K的全體q維鍊形成一個自由交換羣，稱為K的q維鏈羣，記為C_q(K;Z)，或簡記為C_q(K)。基本組{s_i}為這鏈羣的一組基。為了方便也可將q推廣到所有整數，當q<0或q>n時，規定C_q(K)=0。

設G是一個非空集合，G上有一個叫做乘法的代數運算，即有一個G×G到G的映射，對a，b∈G，(a，b) 在這個映射之下的象記作ab，如果以下條件被滿足，則稱G是一個羣： (1) 對於任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)對任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。設G是一個羣，存在唯一的元素e∈G使得對任意的a∈G，ea=ae=a，e稱為G的單位元。對任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a稱為a的逆元。一個羣的元素個數如果是有限的，則稱這個羣是有限羣，否則，這個羣稱為無限羣。有限羣的元素個數稱為這個羣的階。對於羣G的元素a，使得a=e的最小正整數m稱為a的階，這裏a表示m個a相乘的積，如果不存在這樣的正整數m，則稱a是無限階的。 ^[2] 

設G₁，G₂是兩個羣，是G₁到G₂的一個映射，如果對任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ是羣G₁到G₂的同態。羣G₁到G₂的同態φ如果是單射(滿射)，則稱φ是單同態(滿同態)，如果φ還是個一一映射，則稱是一個同構，而且稱羣G₁與G₂是同構的，記作G₁≌G₂。如果一個非空集合A到自身的一些一一映射在映射的複合運算下作成一個羣，這種羣稱為變換羣。凱萊定理指出，每個羣都與一個變換羣同構。有限集合到自身的一一映射稱為置換，n個元素的集合的全體置換做成的羣稱為n次對稱羣，記作S_n。設G是一個羣，a∈G，規定對於正整數m，(a-1)=a，a=e，則對任何整數n，a有意義。設G是一個羣，如果存在a∈G，使得G={a|n為整數}，則稱G為循環羣，記作G=(a)，a稱為G的一個生成元。設G=(a)，如果a的階無限，則G與全體整數在加法運算之下做成的羣同構。如果a的階為正整數n，則G與模n的剩餘類在加法運算之下做成的羣同構。設G是一個羣，H是G的子集，如果H對於G的運算也做成一個羣，則稱H是G的一個子羣。設H是羣G的一個子羣，對任意的a∈G，定義aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分別稱為子羣H的一個左陪集和右陪集。若G是有限羣，則H的左、右陪集的個數都等於|G|/|H|。從而有限羣G中每個元素的階都是G的階的因子。設H是羣G的子羣，如果對任意的a∈G，aH=Ha，則稱H是G的正規子羣，或不變子羣。設H是G的一個正規子羣，H的左陪集全體記作G/H，對任意的aH，bH ∈ G/H，定義 (aH) (bH) = (ab) H，則G/H也做成一個羣，這個羣稱為G的一個商羣，映射π： G→G/H，a→aH，是一個滿同態。設φ是羣G₁到羣G₂的同態，Kerφ= {a∈G₁|φ(a)=e}稱為φ的核。φ(G₁)={φ(a)|a∈G1} 稱為的象，Ker是G₁的正規子羣，(G₁)是G₂的子羣，並且(G₁)≌G₁/Kerφ。

一種重要的拓撲不變性質。可仿照線性空間的對偶空間的定義方式引入上同調羣。若K是一個n維單純復形，C_q(K)是q維整係數鏈羣，則同態c：C_q(K)→Z(整數加羣)稱為K的一個q維上鍊。對於任意兩個q維上鍊c和d，它們的和是這樣的上鍊，它在任意x_q∈C_q(K)上取值： ^[3] 

所有q維上鍊在上述加法下成為一個交換羣，它就是同態羣Hom(C_q(K)，Z)，稱為K的q維上鍊羣，記為C(K).為區別起見可把原來的鏈羣C_q(K)稱為下鏈羣。對於原來的邊緣同態可用對偶同態來定義上邊緣同態算子，設：

定義δ：C(K)→C(K)，對於K的q維上鍊c，δc是一個q+1維上鍊，它在任意x_q+1∈C_q+1(K)上取值為：

從而δ°δ=0(或寫成δ°δ=0)。由此可定義C(K)的子羣：

分別稱為q維上閉鏈羣與上邊緣鏈羣。商羣：

稱為復形K的q維上同調羣，這些羣中元素分別稱為上閉鏈、上邊緣鏈與上同調類。相應原來的同調羣可稱為下同調羣。

設f：K→L是單純映射，f={f_q：C_q(K)→C_q(L)|q∈Z}是這單純映射誘導的鏈映射，f_q的對偶同態f：C(L)→C(K) (q∈Z)定義為，對於任意c∈C(L)，f(c)是K的q維上鍊，在K的q維鏈x_q上取值(f(c))(x_q)=c(f_q(x_q)).它滿足δ°f=f°δ，稱f為上鍊映射，因此f誘導出上同調羣之間的同態：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意與f：K→L方向相反).同樣地，可研究鏈同倫、連續映射用單純逼近定理得到的誘導同態和類似於下同調羣之間誘導同態的性質，所以上同調羣也具有拓撲不變性、同倫型不變性.設K是n維單純復形，其上、下同調羣H(K)與H_q(K)的秩分別記為R與R_q，它們的撓子羣分別記為T(K)與T_q(K) (q∈Z)，則上、下同調羣之間有關係：

其中T_-1(K)理解為零羣。這表明上同調羣由下同調羣完全決定。 ^[4]