超指數分佈

超指數分佈(hyperexponential distribution)是一種概率分佈。有k個平行的服務枱，服務時間均服從負指數分佈，平均服務時間分別為1/μ_i(i=1，2，…，k)，一個顧客到達後以概率α_i選取第i個服務枱，但直到正在接受服務的顧客服務完成之前，不允許新的顧客在別的服務枱處接受服務，這樣顧客的服務時間分佈就服從k階超指數分佈。 ^[1] 

超指數分佈(hyperexponential distribution)亦稱“混合指數分佈”。由指數分佈密度的線性組合所決定的概率分佈。稱隨機變量X服從m級超指數分佈，參數為(p₁，…， P_m;λ_1，…，λ_m)，如果它有概率密度：

其中p_i>0，

。其Υ階矩

為一級超指數分佈，即“指數分佈”。設隨機變量X_i(i=1，…，m)服從指數分佈，參數為λ_i，而隨機變量X以概 率p_i等於X_i，則X服從m級超指數分佈，參數(p₁，…，p_m;λ₁，…，λ_m)。假設一倉庫存放的某種電器元件來自 m個廠家，其中第i家工廠的產品佔100p_i%，使用壽命服從參數為λ_i的指數分佈，則從該倉庫隨意提取 一個元件的使用壽命由超指數分佈描繪。 ^[2] 

事件的概率表示了一次試驗某一個結果發生的可能性大小。若要全面瞭解試驗，則必須知道試驗的全部可能結果及各種可能結果發生的概率，即必須知道隨機試驗的概率分佈(probability distribution)。為了深入研究隨機試驗，我們要引入隨機變量(random variable)的概念。

隨機變量的所有可能取值及其對應的概率構成概率分佈。它反映了隨機變量的特徵，用來描述隨機變量的變化。有離散隨機變量概率分佈，連續隨機變量概率分佈和奇異隨機變量概率分佈三種基本類型。分別簡稱為離散分佈、連續分佈和奇異分佈。常見的有離散分佈和連續分佈兩種基本類型。離散分佈用以描述可數或可枚舉的資料，如企業職工人數等。連續分佈用以描述連續變化數值的資料，如產品重量、測量誤差等。

常用的重要概率分佈有三個： 高斯分佈、二項分佈和普阿松分佈。

在概率理論和統計學中，指數分佈（也稱為負指數分佈）是描述泊松過程中的事件之間的時間的概率分佈，即事件以恆定平均速率連續且獨立地發生的過程。 這是伽馬分佈的一個特殊情況。 它是幾何分佈的連續模擬，它具有無記憶的關鍵性質。 除了用於分析泊松過程外，還可以在其他各種環境中找到。

指數分佈與分佈指數族的分類不同，後者是包含指數分佈作為其成員之一的大類概率分佈，也包括正態分佈，二項分佈，伽馬分佈，泊松分佈等等。

指數函數的一個重要特徵是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數分佈，當s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等。

在電子元器件的可靠性研究中，通常用於描述對發生的缺陷數或系統故障數的測量結果。這種分佈表現為均值越小，分佈偏斜的越厲害。

指數分佈應用廣泛，在日本的工業標準和美國軍用標準中，半導體器件的抽驗方案都是採用指數分佈。此外，指數分佈還用來描述大型複雜系統（如計算機）的平均故障間隔時間MTBF的失效分佈。但是，由於指數分佈具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機械可靠性研究中的應用，所謂缺乏“記憶”，是指某種產品或零件經過一段時間t0的工作後,仍然如同新的產品一樣,不影響以後的工作壽命值，或者説，經過一段時間t0的工作之後，該產品的壽命分佈與原來還未工作時的壽命分佈相同，顯然，指數分佈的這種特性，與機械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實際情況是完全矛盾的，它違背了產品損傷累積和老化這一過程。所以，指數分佈不能作為機械零件功能參數的分佈形式。 ^[3] 

概率指事件隨機發生的機率，對於均勻分佈函數，概率密度等於一段區間(事件的取值範圍)的概率除以該段區間的長度，它的值是非負的，可以很大也可以很小。

對於隨機變量X的分佈函數F(x)，如果存在非負可積函數f(x)，使得對任意實數x，有：

則X為連續型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數，簡稱為概率密度。

單純的講概率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。可以把概率密度看成是縱座標，區間看成是橫座標，概率密度對區間的積分就是面積，而這個面積就是事件在這個區間發生的概率，所有面積的和為1。所以單獨分析一個點的概率密度是沒有任何意義的，它必須要有區間作為參考和對比。

電子運動的狀態有波函數Ψ來描述，|Ψ|²表示電子在核外空間某處單位體積內出現的概率，即概率密度。處於不同運動狀態的電子，它們的|Ψ|各不相同，|Ψ|²當然也不同。密度大則事件發生的分佈情況多，反之亦然。若用黑點的疏密程度來表示各個電子概率密度的大小，則|Ψ|²大的地方黑點較密，其概率密度大，反之亦然。在原子和外分佈的小黑點，好像一團帶負電的雲，把原子核包圍起來，人們稱它為電子雲。

1926年，奧地利物理學家薛定諤運用偏微分方程，建立了描述微觀粒子運動的波動方程，即薛定諤方程。由薛定諤方程式的可知，對於一個質量為m，在勢能為V的勢場中運動的微粒來説，有一個與這個微粒運動相聯繫的波函數ψ，這個波函數就是薛定諤方程的一個合理的解，每一個解都與相應的常數E對應，就是微粒在這一運動狀態的能量（或能級）。|Ψ|²表示原子核外空間某點P(x,y,z)處電子出現的概率密度，即在該點處單位體積中電子出現的概率。用來表示概率密度的幾何圖形俗稱電子雲，電子雲並非眾多電子彌散在核外空間，而是電子在核外空間各處出現的概率密度的形象表現。 ^[4]