解三角形

一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形 ^[2]  。

傳統的平面幾何學通常只能討論邊與邊、邊與面積、面積與面積、角與角之間的數量關係，卻無法討論角和邊、角和麪積之間的數量關係。如果我們能夠討論角和邊之間的數量關係，然後討論邊與面積之間的數量關係，我們就可以討論角與面積之間的數量關係。對於角和邊之間的定量關係，雖然我們也有諸如“30°的角所對的直角邊為斜邊的一半”這樣的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所對的直角邊為斜邊的(根號3)/2倍，但這些都僅僅是針對“特殊值”加以討論，從而很難推廣到一般性（任意值）的討論 ^[3]  。

由平面幾何知識可知，已知三角形的鄰邊a，b及其夾角C，根據“邊角邊定理”，第三邊c完全確定。從而，我們可以利用帶有a，b，C的表達式來表示c，即c＝f(a, b, C)。如何給出這個具體的表達式？數學上，通過定義三角函數，從而可以用含有角的表達式來表示邊。解三角形其實就是利用三角函數來表示任意三角形中邊與角的數量關係，於是可以求解出三角形中任意邊的長度和任意角的大小。

解三角形，使許多特定幾何問題的求解得以數量化。只要我們可以用式子表示出三角形邊和角（或者邊和麪積）之間的數量關係，然後進行三角函數化簡或恆等變形，就可以求解或者證明一些幾何問題，從而避免許多繁瑣的輔助線。並且，如何作輔助線並沒有一套通用的法則，需要因題而異。對於某些特定條件的題目，作輔助線需要很高的洞察力。

三角函數在物理學、工程、技術等領域也有廣泛的應用。直接用含有角度的公式來表示相關的物理參量，通常會很方便，具有較高的可實踐性與可操作性，進而針對許多具體的物理量只需一個公式就可以求解。

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一個三角形中是恆量，R是此三角形外接圓的半徑）。

（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c

（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB

（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

面積公式（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h（原始公式） ^[4] 

cosC=(a²+b²-c²)/2ab

cosB=(a²+c²-b²)/2ac

cosA=(c²+b²-a²)/2bc

三角形△ABC的內角平分線的性質定理

AD為角A平分線與BC交點連線則AB/AC=BD/DC

a²=b²+c²-2bccosA

b²=a²+c²-2accosB

c²=a²+b²-2abcosC

注：勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊情況 ^[5]  。

p=(a+b+c)/2（公式裏的p為半周長）

假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

方法一：已知三條中線Ma,Mb,Mc，

則S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；

方法二：已知三邊a，b，c ；

則S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；

勾股定理只適用於直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）

a²+b²=c², 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數是指一組能使勾股定理關係成立的三個正整數。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數。

常見的勾股弦數有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；10，24，26等等。

已知條件：一邊和兩角（如a、B、C,或a、A、B）

一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時，有一解。

已知條件：兩邊和夾角(如a、b、C）

一般解法：由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解時有一解。

已知條件：三邊（如a、b、c）

一般解法：由餘弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解時只有一解。

正弦定理（或餘弦定理）

已知條件：兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A）

一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C邊，可有兩解、一解或無解。（或利用餘弦定理求出c邊，再求出其餘兩角B、C）①若a>b，則A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有兩解；③若a<bsinA則無解 ^[5]  。