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莫利定理

莫利定理（Morley's theorem），也稱為莫雷角三分線定理。將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

莫利定理內容

莫利定理

將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條角三分線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。

該定理以其美妙和證明困難著稱，到目前為止，已經有很多證明方法。

設△ABC中，AF、 AE、BF、BD、CD、CE為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內角為3α，3β，3γ，則α+β+γ=60°。

在△ABF中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。

不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=

（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=

2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.

同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)

∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE

∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，CED=60°+α

FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60

∴△FED為正三角形。^[1]

∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ），

AF：AB=sinβ：sin（α+β），

AB：AC=sin3γ：sin3β，

∴AE:AF=（ACsinγ/sin（α+γ））：（ABsinβ/sin（α+β）），

而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ），

sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)，

∴AE：AF=sin(60°+β)：sin(60°+γ)，

∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，

同理∠CED=60°+α，

∴∠DEF=60°，

同理∠DFE=60°，

∴△DEF為正三角形。

參考資料

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