總統證法

在1876年一個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走着走着，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論着什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麼。只見一個小男孩正俯着身子用樹枝在地上畫着一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們：“你們在幹什麼?”只見那個小男孩頭也不抬地説：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢?”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少?”伽菲爾德不假思索地回答到：“那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。”小男孩又説道：“先生，你能説出其中的道理嗎?”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裏很不是滋味。爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反覆的思考與演算，終於弄清楚了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。

他是這樣分析的，如圖1所示：

∵S梯形ABCD=

(a+b)

=

(a

+2ab+b

),

又∵S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△DEC=

ab+

ba+

c

=

(2ab+c

)

∴c

=a

+b

.

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明瞭的證明，就把這一證法稱為“總統”證法。

由直角梯形面積公式，得：

直角梯形ABCD面積：S=(a+b)*(a+b)/2

=(a+b)²/2

又∵ADE面積：

=ab/2

CBE面積：

=ab/2

CDE面積：

=c²/2

∴直角梯形ABCD面積：S=

+

+

=ab/2+ab/2+c²/2

=(2ab+c²)/2

∴ (a+b)²÷2=(2ab+c²)÷2

∴ (a+b)²=2ab+c²

∴a²+b²+2ab=2ab+c²

∴ a²+b²=c²