結構的幾何不變性

一個由若干元件組成的系統，在受到外力後會產生變形。變形包括兩部分：一是元件本身的彈性或塑性變形，另一是不考慮元件的這種變形時整個系統宏觀外形的改變。根據後者，系統可分成機構、結構和瞬時可變結構三類：

它是在外力作用下不能保持宏觀外形的系統。如圖1所示的四連桿平面系統，在外力P作用下，由於杆件能轉動而使系統變形。

即幾何不變系統。在不考慮元件自身變形的前提下，載荷的作用不能使這種系統的宏觀外形發生任何改變。結構只起承受和傳遞外力的作用。圖2所示的杆繫結構就屬於此類。

在外力開始作用的瞬間，它象機構一樣發生變形，但經歷一定的變形後，它又能象結構一樣承受外力。圖3所示的直線二鉸接杆就是一種瞬時可變結構：開始受到垂直於杆的外力P作用的瞬時，杆內只產生沿水平方向的反力，它們不能反抗外力，因此，杆將繞支點轉動。但當杆轉過一定角度後，A、B杆中的內力NA，NB的垂直分量就平衡外力P，這時杆系便成為幾何不變的。

根據結構和座標系之間是否有相對位置變化，可將結構分為可移動結構和不可移動結構兩類。橋樑結構對於地球就是不可移動結構，而汽車對於地球則是可移動結構。

判斷結構幾何不變性和可移動性的方法很多，主要有以下三種：

不在一直線上的三個鉸接杆所組成的平面系統是最簡單、最基本的幾何不變系統(圖4a)。在此係統上每增加一個鉸鏈和兩個杆，就得到新的幾何不變系統。如果將它連接在一個固定的基礎或系統上，則它既是幾何不變的又是不可移動的。空間基本幾何不變系統由不在一個平面上的四個鉸鏈和六個杆組成(圖4b)。在此係統上每增加不在一個平面上的三個杆和一個鉸鏈，就得到新的幾何不變系統。可移動和不可移動的含義和平面結構相同。

幾何不變鉸接系統的杆數N和鉸數n有下列的關係：

為使系統具有幾何不變性，除N和應滿足上述關係外，還必須對杆件作合理安排。圖5表示兩個具有相同杆數和鉸數的系統。圖5a的系統由於安排合理而具有幾何不變性，因而屬結構；圖5b則由於安排不合理而成為機構。

此法的根據是物體的平衡條件。若系統在任何外力作用下都能保持平衡，它就是幾何不變的。以平面結構為例，要使結構上任何一點固定不動，則作用於該點的所有外力必須滿足平衡方程

其中∑X為x方向的所有分力之和；∑Y為y方向的所有分力之和。以圖6a所示的二鉸接杆系統為例，在鉸點O受到外力Px和Py後，固定物體對稈OA和OB的反作用力為R1和R2，並且它們與x軸的夾角分別為θ1和θ2以(圖6b)。由平衡方程可建立下列一組關係式：

解出反作用力R1和R2為：

或

如果安排合理，則Δ≠0，從而R1和R2為有限值，系統成為幾何不變的；如果θ2=π+θ1，則Δ=0，從而得出R1=∞，R2=∞。在此情況下，角θ1，和角θ2。成為瞬時可變的。

對於複雜系統，必須把它分成若干部分並遂一檢查，才能最終判斷整個系統是否幾何不變。 ^[1]