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等分圓周
鎖定
等分圓周是指利用直尺和圓規將圓周n等分,這是一個古老的數學問題。古代希臘數學家利用尺規作圖可將圓周分成3,4,5,15等分,並進而將分點逐次倍增,將圓周無限等分。
高斯(Gauss,1777-1855)曾證明可用尺規作圖將圓周17等分,因而找到了
正十七邊形的
尺規作圖法。為此,後人把這一圖形銘刻在高斯紀念碑上
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- 中文名
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等分圓周
- 外文名
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circumference in equal parts
- 所屬學科
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數學
- 所屬問題
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平面幾何(圓)
- 相關人物
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高斯(C.F.Gauss)
- 相關概念
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費馬數
等分圓周簡介
等分圓周(circumference in equal parts)是
圓內接正多邊形的作圖問題。若圓周上依次有n個點A
1,A
2,A
3,…,A
n(n≥2),把整個圓周分成n段相等的弧:
則稱點A
1,A
2,…,A
n把圓周n等分,簡稱n等分圓周。除二等分圓周外,用圓規直尺等分圓周與內接正多邊形的作圖實質是相同的問題。高斯(C.F.Gauss)對等分圓周曾做出巨大貢獻。1796年,年僅19歲的高斯根據式子
發現,圓內接
正十七邊形可用圓規直尺作圖。1801年,高斯又研究確定用圓規直尺等分圓周,等分數所應滿足的充分必要條件(參見下文“用圓規直尺等分圓周問題”),高斯臨終遺言“在墓碑上刻正十七邊形”,德國格丁根大學為他建立了一座以正十七稜柱為底座的紀念像
[2]
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等分圓周等分圓周問題
用圓規直尺等分圓周問題是幾何學歷史中的一個著名問題,能僅用圓規直尺把圓周n等分,當且僅當n是如下形式的整數:
1.n=2m(m為大於1的正整數)。
2.n=2m·p1·p2·…·pk,其中m=0,1,2,…,k=1,2,…,pi為
型的不同素數,這是1801年高斯(C.F.Gauss)證明的,因此,在100以內可以用圓規直尺等分圓周的等分數只有24個:1型的五個為4,8,16,32,64;2型的十九個為3,6,12,24,48,96,5,10,20,40,80,15,30,60,17,34,68,51,85。在什麼條件下可以用圓規直尺等分圓周問題,自19世紀初葉被高斯解決以後,仍有許多數學家為此問題着迷。比較有趣的是
是素數時的情形,當t=0,1,2時,n=3,5,17的作圖法已經解決。當t=3,4時,n=257,65537,這兩個數都是素數,正257邊形的作圖,於1832年為裏歇洛(F.J.Richelot)所完成;赫姆斯(P.Hermes)費了十年的時間才完成
正65537邊形的作圖。關於
費馬數
- 參考資料
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1.
高希堯.數學術語詳解詞典:陝西科學技術出版社,1991年07月第1版:第111頁
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2.
《數學辭海》編輯委員會.數學辭海·第一卷.北京:中國科學技術出版社,2002:第154頁