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矩陣求逆
鎖定
典型的矩陣求逆方法有:利用定義求逆矩陣、初等變換法、伴隨陣法、恆等變形法等。
- 中文名
- 矩陣求逆
- 外文名
- matrix inversion
- 學 科
- 數學
- 釋 義
- 求矩陣的逆矩陣
- 相關概念
- 逆矩陣
- 典型方法
- 利用定義求逆矩陣、初等變換法等
- 應 用
- 線性代數研究的主要內容之一
矩陣求逆初等變換法
求元素為具體數字的矩陣的逆矩陣,常用初等變換法‘如果A可逆,則A’可通過初等變換,化為單位矩陣 I ,即存在初等矩陣使
:
(1)
;
(2)用
右乘上式兩端,得:
;
比較(1)、(2)兩式,可以看到當A通過初等變換化為單位處陣的同時,對單位矩陣I作同樣的初等變換,就化為A的逆矩陣
。
用矩陣表示:
這就是求逆矩陣的初等行變換法,它是實際應用中比較簡單的一種方法。需要注意的是,在作初等變換時只允許作行初等變換。同樣,只用列初等變換也可以求逆矩陣。
矩陣求逆伴隨陣法
定理:n階矩陣
為可逆的充分必要條件是A非奇異,且:
稱為矩陣A的伴隨矩陣,記作A*,於是有
。
用此方法求逆矩陣,對於小型矩陣,特別是二階方陣求逆既方便、快捷,又有規律可循。因為二階可逆矩陣的伴隨矩陣,只需要將主對角線元素的位置互換,次對角線的元素變號即可。
若可逆矩陣是二階或二階以上矩陣,在求逆矩陣的過程中,需要求9個或9個以上代數餘子式,還要計算一個三階或三階以上行列式,工作量大且中途難免出現符號及計算的差錯。對於求出的逆矩陣是否正確,一般要通過
來檢驗。一旦發現錯誤,必須對每一計算逐一排查。
矩陣求逆定義法和恆等變形法
矩陣求逆利用定義求逆矩陣
定義:設A、B都是n階方陣,如果存在n階方陣B使得AB=BA=E,則稱A為可逆矩陣,而稱B為A的逆矩陣。下面舉例説明這種方法的應用。