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相似性質
鎖定
- 中文名
- 相似性質
- 外文名
- similarity property
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等幾何(仿射幾何)
- 簡 介
- 相似變換的一種特徵
- 舉 例
- 結合性、平行性、保角性
相似性質基本概念
平面上的變換如果對應線段A’B’與AB的比是個正的常數:
在相似變換下,如果圖形
變為圖形
,則説圖形
相似於圖形
。
從相似變換的定義可以直接看出,移動不過是相似變換當相似比k等於1的特殊情形。顯然位似變換是相似變換的特例。
相似性質相似性質介紹
相似變換具有下面的性質:
事實上,設相似變換
的對應線段為AB和A’B’,相似比為k:
根據這個性質可知,如果圖形
相似於
,則
也相似於
。
(2) 兩個相似變換
和
的積仍是一個相似變換。
事實上,設相似變換
把線段AB變為A1B1,相似比為k1;相似變換
把線段
變為
,相似比為
。這時兩個相似變換的積
把線段AB變為
,而且
根據這個性質可知,如果圖形
相似於
,
相似於
,則
相似於
。
(3) 在相似變換下,一條直線上的點,仍變到一條直線上,也就是直線變為直線。
事實上,設A、B、C是一條直線a上的三個點,並且點B在A與C之間,A’、B‘,C’是它們的對應點(圖1)根據相似變換的定義:
這裏k是相似比,由此得到,
因為,AB+BC=AC,
所以A'B'+B'C'=A'C',
因此,點A‘、B’、C’也在一條直線上,並且點B’在A‘與C’之間。
根據這個性質可知,在相似變換下,半直線變為半直線,角變為角,任意三角形變為與其相似的三角形。
定義 一條直線上三個點A、B、C的簡單比是
,這個簡單比常用記號(ABC)表示,A、B叫做基礎點,C叫做分點,簡單比與線段的分比略有不同,AB由分點C所得到的分比是
,從有向線段來看,兩者差一個符號。C內分AB時簡單比是負值,外分時是正值。
設三點A、B、C在相似變換下,變為點A’、B‘、C‘,根據相似變換定義,
(5) 在相似變換下,角的大小不變。
事實上,在相似變換下,任意三角形ABC變為相似三角形A‘B’C‘,且
(6) 在相似變換下,對應三角形的面積比不變。
事實上,設三角形ABC變為A’B’C’,用h和h'表示這兩個三角形的高(圖2)根據上述性質,在相似變換下,h變為h',因此,
我們看出,相似變換的不變性質和不變量是相似幾何裏的主要研究對象。
研究決定相似變換的條件,我們有: