無限衝激響應數字濾波器

IIR濾波器的特徵是其輸出y（n）由當前的和過去的輸入信號x(n)及過去的輸出信號共同決定。

無限衝激響應數字濾波器只能實現為遞歸型結構，故也稱為遞歸型數字濾波器。同一轉移函數的無限衝激響應數字濾波器可以實現為不同的網絡結構，如直接型、並聯型、級聯型等。高階數字濾波器通常實現為以一階和二階基本節結構為基礎的級聯型或並聯型結構，以降低係數靈敏度。

無限衝激響應數字濾波器的設計方法主要有兩種：一種是採用映射方法將具有相應特性的模擬濾波器轉換為數字濾波器；另一種是用計算機輔助優化設計實現具有特定幅度、相位特性要求的數字濾波器。無限衝激響應數字濾波器可以用單片數字信號處理器(DSP)實時實現，也可以用只讀存儲器和加法器組成的查表法結構實時實現。對於同樣幅頻特性的要求，採用無限衝激響應數字濾波器實現，所需的階次要遠小於有限衝激響應數字濾波器。這類濾波器在通信設備中，有廣泛的應用。

對單位衝激的輸入信號的響應為無限長序列的數字濾波器。按所處理信號的類型，可分為一維、二維或多維無限衝激響應數字濾波器。

無限衝激響應數字濾波器轉移函數的極點應位於z平面的單位圓內，以保證濾波器的穩定性。這類數字濾波器實現為遞歸型結構，故又稱一維遞歸型數字濾波器。圖1為遞歸型數字濾波器採取一種直接型結構的信號流圖。為便於調整並降低係數靈敏度，高階濾波器通常實現為以一階和二階直接型為基礎的級聯型或並聯型。　無限衝激響應數字濾波器的設計方法主要有兩類。一類是根據模擬濾波器設計理論，由模擬濾波器特性或結構導出數字濾波器轉移函數或結構，較典型的有衝激響應不變法和雙線性變換法。另一類是直接在z域中應用計算機輔助設計法。

衝激響應不變法　使所設計數字濾波器的單位衝激響應，等於具有給定頻響特性的模擬濾波器的衝激響應的抽樣值。這一方法的特點是數字信號頻率和模擬信號頻率之間的變換呈線性關係。但這種方法限於設計具有限帶特性的數字濾波器。

雙線性變換法　利用變量z與複頻率變量s的雙線性變換關係,將s平面的左半平面及其實頻率軸映射到z平面上的單位圓內及其圓周上。這一方法的特點是s平面上的值與z平面上的值呈單值的對應關係，因此這種方法適於設計具有各種頻響特性的數字濾波器，不致發生頻譜混疊現象。但是，z平面的頻率和s平面頻率之間具有非線性關係，致使數字濾波器的頻響特性與所要求的頻響特性發生頻率畸變,即卷繞現象。但是,一般要求濾波器通帶特性為平坦的頻響特性，因此，雙線性變換法是一種有效的、應用較為普遍的設計方法。

上述設計方法是以設計原型歸一化低通濾波器為基礎，經頻率變換導出所要求性能的數字濾波器。頻率變換可以在s域進行，也可以在z域進行。

在z域直接用計算機輔助設計方法　應用優化方法來調整數字濾波器轉移函數的係數或零極點位置，使得所設計的數字濾波器頻響特性與所要求特性的誤差為最小。在設計過程中需要採取措施，使得每次疊帶所得到的轉移函數的極點位於單位圓內，以保證濾波器的穩定性。

由於運算的有限字長效應，遞歸型結構有可能出現極限環振盪現象。這是由於運算字長的舍入而引入的非線性作用，使數字濾波器在零輸入時有振盪輸出。因此，人們正研究設計低靈敏度的、穩定的無限衝激響應數字濾波器，並已取得一定成果。

二維無限衝激響應數字濾波器 　通稱二維遞歸型數字濾波器，用以處理二維數字信號序列。二維遞歸型數字濾波器有因果的四分之一平面型和半平面型兩種。圖2為因果的四分之一平面型低通濾波器幅譜特性。圖3為半平面型扇形特性的數字濾波器幅譜特性。 　二維遞歸型數字濾波器的設計方法有頻域法和空間域法兩種。頻域法設計主要是尋求一個滿足頻域給定指標要求的穩定的無限衝激響應數字濾波器轉移函數。這種設計有兩類方法：一是譜變換法；另一是計算機輔助優化方法。空間域法設計主要是尋求一個轉移函數，使其衝激響應在有限區域內逼近給定的二維衝激響應。二維遞歸型數字濾波器設計的主要問題是穩定性問題。二維數字濾波器的設計理論和方法尚不完善，特別是穩定的、高階二維遞歸型數字濾波器設計還有待進一步研究。

數字濾波器（digital filter ）通過對數字信號的運算處理，改變信號頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。它可以用計算機軟件或大規模集成電路硬件實時實現。

原理 數字濾波器是一個離散時間系統。線性、時不變數字濾波器是最基礎的數字濾波器，其特性可描述為：設數字濾波器的輸入和輸出信號序列分別可以 由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，則該數字濾波器的算法可由下列差分方程式表達即圖1.

式中a_r，b_r是濾波器的係數。相應濾波器的頻域轉移函數為圖2.

轉移函數是角頻率ω的函數，因而它就代表數字濾波 器的頻率特性。

分類 數字濾波器按其單位衝激響應h(n)性質分類，有有限衝激響應數字濾波器（FIR)和無限衝激響應數字濾波器(IIR)之分。有限衝激響應數字濾波器(FIR)一般輸出和輸入間無反饋路徑，亦稱非遞歸型濾波器，特性穩定。無限衝激響應數字濾波（IIR）輸入間有反饋路徑，故稱遞歸型濾波器，在係數取值不當時可能引起振盪。

數字濾波器還可以按其所處理信號類型分類，分為一維數字濾波器和二維或多維數字濾波器。一維數字濾波器處理單變量函數信號序列，例如，語音信號、時間函數的抽樣值。二維或多維數字濾波器處理兩個變量或多個變量的函數信號序列，例如，二維圖像的離散信號是平面座標的抽樣值。

一般模擬濾波器是因果的、線性的和時不變的。也就是説，模擬濾波器在某一給定時刻的響應與在此時刻以後的激勵無關（因果性）；對單個或多個激勵信號的響應滿足線性條件（線性）；內部參數不隨時間而變化（時不變）。而數字濾波器則可以實現為因果的或非因果的，線性的或非線性的、時不變的或時變的。這就是數字濾波器具有靈活性、多變性和適應性的特點，它可以實現模擬濾波器所不能實現的功能。

使用方法 通信信號源常是連續時間信號，例如，語音信號和圖像信號。應用數字濾波器處理此類信號時，須先對所處理的信號進行限帶、抽樣和模-數變換，然後進行數字濾波。數字濾波器輸入信號的抽樣率應大於被處理信號帶寬的兩倍。這是因為數字濾波器的幅頻響應是以抽樣率為間隔呈週期重複的特性，並且是以摺疊頻率(1/2抽樣頻率點)呈鏡像對稱。為了保證濾波後輸出頻譜不發生混疊，必須滿足上述抽樣率要求。為得到輸出為連續時間信號，數字濾波器的輸出須經數模變換和平滑濾波。

設計 數字濾波器的設計理論和設計方法已很成熟。有限衝激響應數字濾波器可以實現嚴格的線性相位特性，並且保證絕對穩定。無限衝激響應數字濾波器設計時，應考慮穩定性問題，其轉移函數的極點必須保證位於Z平面的單位圓內。由於應用計算機輔助優化設計和仿真技術，目前，可以應用數字濾波器設計軟件包，根據給定技術指標，在計算機上自動化設計，給出滿足要求的設計結果。

實現和應用 隨着大規模和超大規模集成電路技術的進展，數字濾波器的實時硬件實現也發展得很快。原先應用存儲器和加法器實現的，現在可以用單片微處理器實現。要求處理速度較高，運算量較大的可以用單片通用高速數字信號處理器(DSP)(含有乘法器）實時實現。高速或運算量大的可以用陣列處理器實現。產量大、小型化要求高的還可以設計成專用集成電路(ASIC)實現，

由於數字濾波器具有高精度、高穩定性、高可靠性、可複用、無介入衰耗，以及可實現嚴格的線性相位，所以在通信工程中有非常廣泛的應用。

有限衝激響應數字濾波器(finite impulse re¬sponse digital filter) 數字濾波器的單位衝激響應h(n)只含有有限個非零樣值的一類濾波器，簡記為FIR。它的一般實現為非遞歸型結構，故也稱為非遞歸型數字濾波器。

有限衝擊響應數字濾波器具有絕對穩定的特性，易於直接根據脈衝響應技術條件進行設計；可以在逼近任意幅度特性的同時，實現對稱的脈衝響應；可以實現嚴格的線性相位特性。由於它具有以上諸優點，所以在數據通信和數字通信系統中，有着廣泛的應用。

有限衝激響應數字濾波器的設計，主要是使轉移函數H(z)在單位圓上的值H（e）逼近給定的幅度特性。常用的設計方法有：窗函數法、頻率採樣法和等波紋機助優化設計法等。有限衝激響應數字濾波器可用乘法累加器或通用數字信號處理器（DSP）實時實現。

對單位衝激的輸入信號的響應為無限長序列的數字濾波器。按所處理信號的類型，可分為一維、二維或多維無限衝激響應數字濾波器。

一維無限衝激響應數字濾波器 　它處理單變量信號序列。其輸出序列y(n)與輸入序列x(n)的關係由常係數差分方程描述：

(1)

相應的z域轉移函數為

(2)

無限衝激響應數字濾波器轉移函數的極點應位於z平面的單位圓內，以保證濾波器的穩定性。這類數字濾波器實現為遞歸型結構，故又稱一維遞歸型數字濾波器。圖1為遞歸型數字濾波器採取一種直接型結構的信號流圖。為便於調整並降低係數靈敏度，高階濾波器通常實現為以一階和二階直接型為基礎的級聯型或並聯型。　無限衝激響應數字濾波器的設計方法主要有兩類。一類是根據模擬濾波器設計理論，由模擬濾波器特性或結構導出數字濾波器轉移函數或結構，較典型的有衝激響應不變法和雙線性變換法。另一類是直接在z域中應用計算機輔助設計法。

衝激響應不變法　使所設計數字濾波器的單位衝激響應，等於具有給定頻響特性的模擬濾波器的衝激響應的抽樣值。這一方法的特點是數字信號頻率和模擬信號頻率之間的變換呈線性關係。但這種方法限於設計具有限帶特性的數字濾波器。

雙線性變換法　利用變量z與複頻率變量s的雙線性變換關係,將s平面的左半平面及其實頻率軸映射到z平面上的單位圓內及其圓周上。這一方法的特點是s平面上的值與z平面上的值呈單值的對應關係，因此這種方法適於設計具有各種頻響特性的數字濾波器，不致發生頻譜混疊現象。但是，z平面的頻率和s平面頻率之間具有非線性關係，致使數字濾波器的頻響特性與所要求的頻響特性發生頻率畸變,即卷繞現象。但是,一般要求濾波器通帶特性為平坦的頻響特性，因此，雙線性變換法是一種有效的、應用較為普遍的設計方法。

上述設計方法是以設計原型歸一化低通濾波器為基礎，經頻率變換導出所要求性能的數字濾波器。頻率變換可以在s域進行，也可以在z域進行。

在z域直接用計算機輔助設計方法　應用優化方法來調整數字濾波器轉移函數的係數或零極點位置，使得所設計的數字濾波器頻響特性與所要求特性的誤差為最小。在設計過程中需要採取措施，使得每次疊帶所得到的轉移函數的極點位於單位圓內，以保證濾波器的穩定性。

由於運算的有限字長效應，遞歸型結構有可能出現極限環振盪現象。這是由於運算字長的舍入而引入的非線性作用，使數字濾波器在零輸入時有振盪輸出。因此，人們正研究設計低靈敏度的、穩定的無限衝激響應數字濾波器，並已取得一定成果。

二維無限衝激響應數字濾波器 　通稱二維遞歸型數字濾波器，用以處理二維數字信號序列。二維遞歸型數字濾波器有因果的四分之一平面型和半平面型兩種。圖2為因果的四分之一平面型低通濾波器幅譜特性。圖3為半平面型扇形特性的數字濾波器幅譜特性。 　二維遞歸型數字濾波器的設計方法有頻域法和空間域法兩種。頻域法設計主要是尋求一個滿足頻域給定指標要求的穩定的無限衝激響應數字濾波器轉移函數。這種設計有兩類方法：一是譜變換法；另一是計算機輔助優化方法。空間域法設計主要是尋求一個轉移函數，使其衝激響應在有限區域內逼近給定的二維衝激響應。二維遞歸型數字濾波器設計的主要問題是穩定性問題。二維數字濾波器的設計理論和方法尚不完善，特別是穩定的、高階二維遞歸型數字濾波器設計還有待進一步研究。