-
正項級數
鎖定
正項級數，是一種數學用語。在級數理論中，正項級數是非常重要的一種，對一般級數的研究有時可以通過對正項級數的研究來獲得結果，就像非負函數廣義積分和一般廣義積分的關係一樣。所謂正項級數是這樣一類級數：級數的每一項都是非負的。正項級數收斂性的判別方法主要包括：利用部分和數列判別法、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法以及拉貝判別法等。
- 中文名
- 正項級數
- 外文名
- Positive series
- 定 義
- 各項都是由正數組成的級數
- 重要級數
- p級數
- 收斂性判別
- 比較原則、比式判別、根式判別
- 應用學科
- 數學分析
正項級數定義
正項級數收斂性判別
部分和數列判別法
比較原則
設
和
是兩個正項級數，如果存在某正數
，使得對一切
都有
，則有：
比式判別法（達朗貝爾判別法）
設
為正項級數，且存在某正常數
及常數
。
（1）若對一切
，成立不等式
，則級數
收斂；
（2）若對一切
，成立不等式
，則級數
發散。
比式判別法的極限形式：
設
為正項級數，且
，則有：
（1）當
時，級數
收斂；
（2）當
或
時，級數
發散。
根式判別法（柯西判別法）
設
為正項級數，且存在某正常數
及正常數
。
（1）若對一切
，成立不等式
，則級數
收斂；
（2）若對一切
，成立不等式
，則級數
發散；
柯西判別法的極限形式：
設
為正項級數，且
，則：
（1）當
時，級數
收斂；
（2）當
，級數
發散。
積分判別法是利用非負函數的單調性和積分性質，並以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性。
正項級數典例
正項級數p級數
討論
級數
的收斂性，其中常數
。
解：分兩種情況討論，
（2）當
時，記
級數的部分和為：
.
當
時，取
，則有
，所以有：
從而
即有
。
正項級數例2
討論正項級數
的斂散性。
解：
（1）當
時，對一切
都有
，因此級數發散。
