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歐幾里得引理

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在數論中，歐幾里得引理是根據歐幾里得的《幾何原本》第七卷的命題30推出的一個定理。這個引理説明：如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積，第一個整數與第二個整數互質，那麼第一個整數整除第三個整數。可以這樣表達這個引理：如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那麼 a|c。命題30是這樣説的：如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那麼這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。如果 p|bc，那麼p|b或者p|c。
中文名
歐幾里得引理
外文名
Euclid's lemma
相關文獻
歐幾里得的《幾何原本》
提出人
歐幾里得
領    域
初等數論
簡    述
如果a|bc，gcd(a,b)=1，那麼a|c
所屬學科
數學

目錄

  1. 1 表述1及證明
  2. 2 表述2及證明
  3. 3 表述3

歐幾里得引理表述1及證明

(歐幾里得引理)設
是域，
，如果
是
中的不可約多項式，且
，則要麼
要麼
更一般地，如果
，則有某個
使得
。
證明概要： 假定
但
，因
是不可約的，所以
，從而有多項式
和
使得
，所以
由假設，
，因而
。

歐幾里得引理表述2及證明

(歐幾里得引理)如果
是素數且
，則
或
。更一般地，如果素教
整除乘積
，則
至少整除其中的一個因數
。
證明概要：如果
，則
且
。因此，
是
的倍數。第二個結論可對
用歸納法證明 [1]  。

歐幾里得引理表述3

如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積，第一個整數與第二個整數互質，那麼第一個整數整除第三個整數。
或説：如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那麼這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。
參考資料
  • 1.    （美）JOSEPH J.ROTMAN著，章亮譯．高等近世代數：機械工業出版社，2007年01月第1版