樣本函數

設

為一概率空間，另設集合T為一指標集合。如果對於所有

，均有一隨機變量

定義於概率空間

，則集合

為一隨機過程。

通常，指標集合T代表時間，以實數或整數表示。以實數形式表示時，隨機過程稱為連續隨機過程；以整數表示時，則為離散隨機過程。隨機過程中的參數

只為分辨同類隨機過程中的不同實例，如上文下理不構成誤會，通常略去。例如表達單次元布朗運動時，常以

表達，但若考慮兩同時進行布朗運動的粒子，則會分別以

和

（或作

和

）表示。 ^[1] 

為了瞭解金融市場和研究布朗運動，在19世紀後期人們開始研究隨機過程。第一個用數學語言描述布朗運動的是數學家Thorvald N. Thiele。 他在1880年發表了第一篇關於布朗運動的文章。隨後，在1900年，Louis Bachelier的博士論文“投機理論” 提出了股票和期權市場的隨機分析。阿爾伯特·愛因斯坦（在他1905年的一篇論文中）和瑪麗安·一維Smoluchowski（1906年）從物理界的角度出發，把它作為了一種間接證明了原子和分子的存在。他們所描述的布朗運動方程在1908年被讓·佩蘭核實。

從愛因斯坦的文章的摘錄描述了隨機模型的基本原理：

"它必須明確假定每個單個顆粒執行的運動是獨立於所有其他的粒子的運動;它也將被認為是1的動作和相同的顆粒在不同的時間間隔是獨立的過程，只要這些的時間間隔不是非常小"

"我們引入一時間間隔

蛋白考慮，相對來説這是非常小的，但是我們可觀察到的時間間隔，仍然過大，在兩個連續時間間隔

蛋白，由粒子所執行的動作可以被認為是作為彼此獨立的事件"。 ^[1] 

在概率論的測量理論中，需要解決一個問題。如何構造一個Σ-代數的所有功能空間的衡量子集，然後把它有限化。為了解決這個問題，採用了 Kolmogorov擴展方法。

假定所有函數f的空間概率測度：

存在，那麼它可以被用來指定有限維隨機變量

的聯合概率分佈。從這個n維概率分佈，我們可以推斷出第（n - 1）維邊緣概率為

。但是需要注意的是兼容性狀態，即這種邊際概率分佈是在相同的類作為1從完全成熟的隨機過程衍生。例如，如果該隨機過程是一個Wiener過程（在這種情況下，邊緣是指數類的所有高斯分佈），但不是在一般對所有的隨機過程。這種方程稱為查普曼-洛夫方程。

柯爾莫哥洛夫擴展定理保證了隨機過程的有限維概率分佈滿足查普曼 - 柯爾莫哥洛夫的兼容性條件的存在..

回想一下，在洛夫公理化中存在對於概率問題有還是沒有的不確定性。柯爾莫哥洛夫擴展首先聲明是可衡量的功能，其中有限多個座標

被限制在

中可測量的子集所有集合。如果一個是/否有關的問題都可以通過觀察至多有限多個座標的值回答，那麼它有一個概率的答案。

在測度理論，如果我們有一個可數無限集合測集，所有的人都那麼的聯合和交集是可測集。對於我們而言，這意味着是/否依賴於可數個座標的問題有一個概率的答案。 ^[2] 

給定一個概率空間

，過濾是一個弱增長對σ-代數在

集合一些全序集T,上界由

決定。即對於s,t

且s<t，有

給定一個隨機過程

。在這個過程中，需要過濾這裏的

這個通過

和時間s=t產生。舉個例子，

一個隨機過程總是適應其自然過濾。 ^[1]