最小方差控制

假定對象輸出y(t)、控制輸入u(t)和隨機干擾 ε(t)之間的關係由可控自迴歸滑動平均(CARMA)時間序列模型來描述： y(t)+a1y(t-1)+…any(t-n) =b0u(t-k)+b1u(t-k-1)+…+bnu(t-k-n)+ ε(t)+c1ε(t-1)+…+cnε(t-n)

式中t時刻輸出值y(t)與直到n步前的值 y(t-n)有關這一事實，反映了運動過程的記憶性；輸入u(t-k)要經過k步延遲才能影響輸出值;ε(t)為前後獨立的隨機干擾序列。引入延遲算子q:qx(t)=x(t-1),並採用多項式記號： A(q)=1+a1q+…+anqn

B(q)=b0+b1q+…+bnqn

C(q)=1+c1q+…+cnqn

則系統模型可簡化為 A(q)y(t)=B(q)u(t-k)+C(q)ε(t)

最小方差控制是使輸出y(t)的方差V=E{y(t)}取最小值的控制。由於控制u(t)只與y(t)、y(t-1)、…和u(t-1)、u(t-2)、…等已獲取的信息有關,而u(t)直到k步後才開始影響輸出y(t+k)的值,因此實現最小方差控制的關鍵在於預報k步以後的輸出，然後選取控制值,使預報值恰等於理論值。最優控制解為 u=-B(q)G(q)F(q)y(t)

式中多項式F和G由下列方程解出 C(q)=F(q)A(q)+qG(q)

這裏F的階數不超過k-1。這類有限步數的最小方差控制還可推廣到無窮步數的情形和多輸入、多輸出情形。

K.J.奧斯特略姆著,潘裕煥譯:《隨機控制理論導論》，科學出版社,北京，1983。(K.J. Astr╂m，Introduction to Stochastic Control Theory，Academic Press, New York,1970.)