數字微分器

微分運算是一種基本的數學運算，在信號分析與處理等領域得到廣泛應用，特別在信號的奇異性檢測和提取方面具有特殊的作用。我們常用的微分運算，微分方程等使用的都是整數階，例如一階導數、二階導數⋯，一階微分方程、二階微分方程⋯，然而許多事物、自然現象以及社會現象，例如諸多“非”問題和現象是難以用整數階微分方程來描述和刻畫的。從信號分析與處理角度來看，微分運算，即對函數或信號f(t)求導：

數字微分器，是指執行微分運算的數字方式。整數階數字微分器用於確定和估計給定信號的（一般是關於時間）導數是十分有用的工具。例如，在雷達和聲納應用中，速度和加速度是用微分器從位置測量數據計算出來的。在生物醫學工程中，通常需要獲得生物醫學數據中，特別是在低頻區間的高階導數。對於整數階，也即普通微分濾波器的設計理論己很成熟並得到廣泛應用。

從信號處理角度來看，整數階或分數階（階數為v）微積分運算完全可以看成是對信號的濾波，濾波函數即是 ^[1] 

有如下三種情況：

（1）v>0，對應於微分函數

是奇異高通濾波；

（2）v=0，對應於全通函數

（3）v<0，對應於積分函數

是奇異低通濾波。

根據數字信號處理理論，我們將理想的數字分數階微分濾波函數定義為：

這樣得到的理想數字分數微分濾波器，滿足如下基本性質：

（1）有界性

（2）波動性

（3）實值性

（4）連續性

（5）能量有限性

微分運算是許多物理系統和計算系統中常用的基本手段，微分器在測試技術、控制工程及生物工程中得到了廣泛的應用。但是對連續信號或離散信號求導數，通常是一個不穩定的過程。

下面介紹一種直接從被測信號中得到低階，又能抑制噪聲的微分器。模擬電路為 ^[2]  ：

可以得到積分方程為：

經拉氏變換得：

下圖是框圖：

波特圖為：

這是包含了一階低通濾波器的微分器。

測試數據進行微分和積分計算是經常遇到的問題，對於有解析表達式的函數，求其微分往往比積分容易得多。但對由測量系統測得的數據進行微分和積分情況就不一樣了，為滿足一定的工程計算精度，進行微分計算常比積分困難得多。常用的微分方法有兩種：用模擬微分器進行實時微分獲取，用軟件設計數字微分器對已測得的數據進行微分處理。

Matlab語言是一種面向科學與工程計算的語言，高版本的Matlab語言有豐富的庫函數，用户文件也可作為Matlab的庫函數直接調用。用户可以根據自己的需要方便地建立和擴充新的庫函數。充分利用Matlab語言的函數功能，可以完成數字微分器的程序設計，並將其作為函數文件保存，可方便地進行調用。

測試數據為某一運動物體的速度，感應測速傳感器的工作原理是：當物體運動時，帶動與其固聯的永久磁鐵沿速度線圈軸線方向運動，通過電磁感應原理把物體的運動速度變換成和它保持一定比例關係的感應電動勢。測量放大器的功能是放大傳感器的輸出信號，並改善整個測量系統的動態響應.速度信號含有豐富的高頻成分，採用模擬微分器需要嚴格調節微分器的時間常數等，微分的效果不理想，因此設計數字微分器對速度信號進行微分處理以獲得其加速度信號。系統框圖如下：

設計數字微分器的理論依據是模擬微分器的頻率響應函數.模擬微分器的頻率響應函數為：

其衝擊響應函數為：

Matlab程序如下：

function a=dif(v,Ts,ft,N,M0,N1)/可供調用的微分子函數/

kd=2*ft*Ts;

h(M0+1)=0;

pai=3.14;

for i=0:M0-1

B=pai*kd*(i-M0);

h1=1-cos(pai*i/M0);

h2=B*cos(B)-sin(B);

h(i+1)=h2/(2*pai*Ts)*h1/(i-M0)^2;

end;

for i=M0+1:2*M0-1

B=pai*kd*(i-M0);

h1=1-cos(pai*i/M0);

h2=B*cos(B)-sin(B);

h(i+1)=h2/(2*pai*Ts)*h1/(i-M0)^2;

end;/計算數字微分器的衝擊響應/

V=fft(v,N);

H=fft(h,N)；

Z=V*H;

z=ifft(Z);

a=real(z);/利用Matlab的函數做兩次FFT和一次IF󰀁FT/

for i=0:N1-1

a(i+1)=a(i+1+M0);

end;

for

i=N1:N1-1+2*M0-1

a(i+1)=0;

end;/將序列向右平移M0/ ^[3]