整數模n乘法羣

容易驗證模n互質同餘類在乘法運算下滿足阿貝爾羣的公理。 ^[1] 

恆同: 1 是恆同；

閉：如果a和b都與n互質，那麼ab也是；

逆：找x滿足ax≡ 1 (modn) 等價於解ax+ny= 1，可用歐幾里得算法求出；

結合性和交換性：由整數的相應事實以及模n運算是一個環同態推出。

整數模n環記作

或

（即整數環模去理想nZ= (n) ，由n的倍數組成）或

因作者所喜，它的單位羣可能記為

或類似的記號。

模 2 只有一個互質同餘類 1，所以

平凡。 ^[2] 

模 4 有兩個互質同餘類，1 和 3，所以

兩元循環羣。

模 8 有四個互質同餘類，1, 3, 5 和 7，每個平方都是 1，所以

Klein 四元羣。

模 16 有八個互質同餘類，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。

為 2-扭子羣（即每個元素的平方為 1），所以

不是循環羣。3的冪次：1,3,9,11 是一個 4 階子羣，5 的冪次也是，1,5,9,13。所以

。

對奇質數的冪p，此羣是循環羣：

中國剩餘定理説明如果

那麼環

每個質數冪因子相應的環的直積：

類似地，

的單位羣是每個質數冪因子相應羣的直積：

羣的階數由歐拉函數給出：

（OEIS中的數列A000010） 這是直積中各循環階數的乘積。

指數為卡邁克爾函數，（OEIS中的數列A002322），即這些循環羣的階數的最小公倍數。這意味着如果a和n互質，

。

是循環羣當且僅當

。這在n為奇質數的冪次、奇質數冪次 2 倍、2 和 4 成立，此時也稱一個生成元為模 n 的原根。

因為所有

n= 1, 2, ..., 7 是循環羣，上述結論的另一種説法是：如果n< 8 那麼

有原根；如果n≥ 8，且不能被 4 或者兩個不同的奇質數整除，

有原根。( A033948= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )

一般情形每個直積因子循環有一個生成元。