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基礎解系
鎖定
基礎解系簡介
對於m個方程、n個未知數的齊次線性方程組
,係數矩陣記為A,其秩記為r(A),齊次線性方程組總有零解,不存在無解的情況,且其有非零解的等價條件為
,即係數矩陣
中的列向量
線性相關。而且齊次線性方程組的解向量的線性組合仍然是該線性方程組的解。證明如下:
把由齊次線性方程組
的解所構成的集合稱為解空間,它的維數為
。 該解空間中的一組基就成為該線性方程組的一組基礎解系。換句話説,基礎解系是由
個線性無關的解向量構成的,基礎解系的解向量個數是確定的,但解向量是不確定的,只要兩兩之間線性無關即可。基礎解系的任意線性組合構成了該齊次線性方程組
的一般解,也稱通解
[2]
。
基礎解系證明
要證明一組向量為齊次線性方程組
的基礎解系時,必須滿足以下三條:
(1)這組向量是該方程組的解;
(2)這組向量必須是線性無關組,即基礎解系各向量線性無關;
(3)方程組的任意解均可由基礎解系線性表出,即方程組的所有解都可以用基礎解系的量來表示。
基礎解系求法
求法一:先求出齊次或非齊次線性方程組的一般解,即先求出用自由未知量表示獨立未知量的一般解的形式,然後將此一般解改寫成向量線性組合的形式,則以自由未知量為組合係數的解向量均為基礎解系的解向量。由此易知,齊次線性方程組中含幾個自由未知量,其基礎解系就含幾個解向量
[3]
。
求法二:先確定自由未知量,不妨設AX=b的係數矩陣A的秩為r,並假設A經過初等行變換化為如下形式:
則AX=0分別可化為如下的同解方程組:
令自由未知量xr+1,xr+2,……,xn分別取n-r組數[1,0,...,0],[0,1,0,...,0],...,[0,0,…,1],將其帶入方程組,分別帶入x1,x2,……,xr分別取n-r組數,這樣就得到基礎解系所含的n一r個線性無關的解,即
其中,含所有自由未知量的取值全為0,代入方程組①,得原方程組的一特解為
基礎解系例題
【例題1】:
已知齊次線性方程組
的一組基礎解係為
,則下列結論是否正確?
a.
也為
的一組基礎解系。
b.向量組
能被向量組
線性表出,則
也是
的基礎解系。
c.向量組
與向量組
可以互相線性表出,則
也是
的基礎解系。
d.向量組
與向量組
是等價的向量組,則
也是
的基礎解系。
【解析】:
a.正確。 首先因
是線性方程組
的3個解向量,它們的線性組合
也是
的解。再證它們是線性無關的。證明方法有很多種,最簡單的方法是:設
,矩陣
的列秩等於3,而通過列初等變換可把
化為
,
(初等變換不改變矩陣的秩),所以
的列秩也為3. 列向量組
為
的3個線性無關的解向量,滿足前面提出的3條(見證明),所以它們構成
的一組基礎解系。
b.不正確。因為
能被
線性表出,根據定理,
,這不能保證
(例如
,則
線性相關),即
有可能成為的一組線性相關解,故不能構成
的一組基礎解系。
c.正確。兩組向量可以互相線性表出,故
,且
有滿足
,即它們為
的3個線性無關解,故構成
的一組基礎解系。