埃朗根綱領

他論述了變換羣在幾何學中的主導作用，把到當時為止已發現的各種幾何學統一在變換羣論觀點之下，明確地把幾何學的研究對象確定為空間在某個變換羣作用之下的不變性質。後來把克萊因的這種思想簡稱為埃朗根綱領。平面上或空間中的剛體運動的集合、仿射變換的集合、射影變換的集合等，各構成一個變換羣，分別稱為運動羣、仿射羣和射影羣。克萊因把各種幾何學看作是研究它們所從屬的各種變換羣的不變性質的理論，使得在19世紀80年代發現的各種幾何學之間顯示出深刻的聯繫。

例如，經過剛體運動不變的性質就是度量性質，是歐氏幾何研究的對象；經過仿射變換不變的性質就是仿射性質，是仿射幾何研究的內容；經過射影變換不變的性質就是射影性質，是射影幾何的研究內容。距離、角度、面積、平行性、單比、交比等在剛體運動羣作用下都是不變的；但是在仿射變換下，距離、角度、面積都改變，而（同方向線段的）單比、交比、平行性、共線性則保持不變，因此後者都是仿射性質；在射影變換下，單比、平行性都改變，但共線性和交比保持不變，它們是射影性質。上述事實的根據是：運動羣是仿射羣的一個子羣，而仿射羣是射影羣的一個子羣。埃朗根綱領的提出，使人們明確了古典幾何研究的對象。儘管它沒有把黎曼幾何包括在內，但是埃朗根綱領對於當代幾何學的發展（包括微分幾何學在內）仍然有指導性的意義。 ^[1]