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圓周卷積定理
鎖定
圓周卷積定理又稱循環卷積定理。對於時域圓周卷積,其含義為:兩序列離散傅里葉變換的乘積等於此兩序列的圓周卷積的離散傅里葉變換。對於頻域圓周卷積,其含義為:兩序列乘積的離散傅里葉變換等於兩序列離散傅里葉變換的圓周卷積除以圓周卷積列長的結果。
- 中文名
- 圓周卷積定理
- 外文名
- Circular Convolution Theorem
- 別 名
- 循環卷積定理
- 學科領域
- 數字信號處理
目錄
圓周卷積定理時域圓周卷積定理
兩序列離散傅里葉變換的乘積等於此兩序列的圓周卷積的離散傅里葉變換。利用離散傅里葉變換對錶示為
即為圓周卷積的符號表示,對於頻域圓周卷積亦同,下文不再贅述。
圓周卷積定理頻域圓周卷積定理
圓周卷積定理圓周卷積和線性卷積的關係
實際數字信號處理要求解線性卷積,而圓周卷積可以採用快速傅里葉變換(FFT)技術,適用於計算機快速計算的要求,故探究圓周卷積和線性卷積的關係,以及利用圓周卷積替代線性卷積而不失真的條件,尤為重要。
圓周卷積是週期卷積的取主值序列,而週期卷積是兩有限長序列(設序列長分別為M和N)線性卷積以L為週期的週期延拓。線性卷積具有N+M-1個非零序列值。因此,若週期卷積週期L<N+M-1,則線性卷積的週期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來,發生混淆。只有當L≥M+N-1時,才不至於發生交疊,此時週期卷積中的每一個週期L內,前N+M-1個序列值正是線性卷積的結果。綜上,要使圓周卷積與線性卷積相等而不產生混淆,必要條件是:L≥N+M-1。
圓周卷積定理圓周卷積的應用——計算無限長序列線性卷積
對於實際的數字信號處理系統,設計有限長的系統序列是容易的,但是待處理的信號往往是近似無限長的,受計算機處理器字長限制,必須將信號序列分段進行快速卷積處理。設信號被等分為列長N的分段(N的取值最好與L取值的數量級相等),系統序列長為M,圓周卷積結果序列長為L。為使週期卷積週期L≥N+M-1,必須通過特定的方法延長信號序列和系統序列。按照延長序列的方法,可將卷積計算方法分為兩種:重疊相加法,重疊保留法。
圓周卷積定理重疊相加法
重疊相加法的含義與基本計算過程:卷積之前通過對分段信號序列(和系統序列)分別補零延長,使得L≥N+M-1;卷積之後作求和運算時,每段卷積最後M-1個點必定和下一段前M-1個點重疊,求和時這些重疊點的取值也要按位相加。因此,該方法稱為重疊相加法。