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同倫範疇
鎖定
同倫範疇定義
同倫範疇性質
同倫範疇介紹
在數學的拓撲學領域中,同倫範疇是處理同倫問題時格外便利的範疇論語言。它的對象是拓撲空間,態射是連續函數的同倫類,這是商範疇的一個例子;由於同倫關係在映射的合成下不變,同倫範疇的定義是明確的。所有拓撲空間構成的同倫範疇通常記為
或
;有時也會考慮較小一類的空間,例如緊生成豪斯多夫空間或CW復形。
[1]
設 X,Y為拓撲空間,它們在同倫範疇中的態射集記為 [X,Y]。同倫理論的基本課題之一便是研究[X,Y],例如當X,Y 是球面時, [X,Y]的計算就歸結到同倫羣的計算。
同倫範疇基點
我們可以考慮帶點空間構成的範疇,其對象為(X,x)(
),態射
為滿足f(x)=y的連續映射。同理,可以定義帶點映射之間的同倫
為滿足h(x,t)=y的同倫。由此得到的商範疇稱為帶點同倫範疇,常記為
,態射集記為
。
在處理帶基點的空間時,空間的積與不交併都要作相應的改變。
同倫範疇同倫理論
同倫理論中有一些適用於所有空間的一般結果,但隨着理論漸深,往往需要考慮更小的一類空間。CW復形適用於大部分的問題,它的好處之一體現於布朗表示定理,缺陷則在於CW復形之間的函數空間不一定是CW復形,針對後者,緊生成豪斯多夫空間更富彈性,它包括了所有CW復形、局部緊空間與第一可數空間(例如度量空間)。
[2]
近來同倫理論發展的一個里程碑是譜空間,這可以説是一種適用於拓撲學的導範疇觀念。以模型範疇的方法也可以定義譜,這推廣了拓撲空間的情形,但較為抽象。
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