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可去奇點
鎖定
可去奇點（removable singularity），有時稱為裝飾性奇點（cosmetic singularity），是指在複分析中，一個全純函數中的點。在此處函數表面上沒有定義，但是通過細緻地分析，函數的定義域可以擴大到該奇點，使得延拓後的函數仍然全純。
- 中文名
- 可去奇點
- 外文名
- removable singularity
- 分 類
- 數理科學
可去奇點例子
例如函數：
確切地，如果U是複平面C的一個開集，a是U中一點，f:U- {a} →C是一個全純函數，如果存在一個在U- {a} 與f相等的全純函數g:U→C，則a稱為f的一個可去奇點。如果這樣的g存在，我們説f在a是可全純延拓的。
可去奇點黎曼定理
黎曼關於可去奇點的定理指出了何時一個奇點是可去的：
定理下列情形是等價的：
- i)f可全純延拓到a。
- ii)f可連續延拓到a。
- iii) 存在a的一個鄰域，在它上面f有界。
- iv) limz→a(z - a)f(z) = 0.
藴含關係 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。為了證明 iv) ⇒ i)，我們首先回憶到一個函數在a的全純性等價於解析，即有一個冪級數表示。定義
這裏由假設(z - a)f(z)可以視為一個D上的連續函數。換句話説，h在D上全純從而有在a的泰勒級數：
可去奇點其它類型奇點
- 受黎曼定理啓示，給定一個不可去奇點，我們可能問是否存在一個自然數m使得 limz→a(z - a)f(z) = 0。如果存在，a稱為f的一個極點，這樣最小的m稱為a的階數。所以可去奇點恰好是零階極點。一個全純函數在極點附近一致發散到無窮遠點。
- 如果f的一個孤立奇點a既非可去奇點也非極點，則稱本性奇點。皮卡定理指出f將任意穿孔開鄰域U- {a} 映滿整個複平面，至多少一個可能的例外點。
可去奇點參見
- 解析容量（Analytic capacity）
- 可去不連續點（Removable discontinuity）
