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全子範疇

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全子範疇(full subcategory)是一種特殊的子範疇，設D為C的子範疇，若子範疇定義中的條件HomD(A，B)⊆HomC(A，B)改為HomD(A，B)=HomC(A，B)，則稱D為C的全子範疇。阿貝爾羣範疇是羣範疇的全子範疇，交換環範疇是環範疇的全子範疇，但存在不是全子範疇的子範疇。例如，令範疇Φ的對象為一切Sn=(0，1，2，…，n)，n=0，1，…，態射Sn→Sm，n≤m定義為Sn的各分量變成Sm中大於或等於此分量的分量，態射合成按常規合成定義，若限制其中的態射滿足f(0)=0，則得到Φ的一個子範疇Φ1，但Φ1不是Φ的全子範疇 [1]  。
中文名
全子範疇
外文名
full subcategory
所屬學科
數學
所屬問題
範疇論

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 相關概念
  3. ▪ 模範疇對偶性
  4. ▪ 模範疇等價
  5. ▪ 森田紀一對偶定理
  6. ▪ 塞爾子範疇

全子範疇基本介紹

範疇D稱為C的子範疇(sub category)，如果
是
的子類，且
，而且D中的態射的合成和C是一樣的。例如，Poset是Set的子範疇。又如果
，有
，則稱D是C的全子範疇(full subcategory)。例如，Grp是Mon的全子範疇。

全子範疇相關概念

全子範疇模範疇對偶性

模範疇對偶性(duality in categories of modules)是模範疇等價的對偶概念。設C和D是兩個範疇，
和
是兩個逆變函子，若有自然等價
和
，則稱
與
是對偶函子，而稱C與D是對偶範疇。模論中考慮較多的問題是：在模範疇
和
中是否有全子範疇
和
，以及
和
之間的加性逆變函子
，使得
與
是對偶函子，
和
是對偶範疇，此性質就稱為模範疇的對偶性 [1]  。

全子範疇模範疇等價

模範疇等價(equivalence of categories of modules)是對模範疇的一種刻畫，存在等價函子的模範疇稱為等價的模範疇。設
是模範疇，若存在加性共變函子
和
使得GF自然同構於
的恆等函子，FG自然同構於
的恆等函子，則稱函子F與G等價，且稱模範疇
與
是等價的，記為
此時，也稱環A與B是森田紀一相似的，記為
。兩個模範疇C，D等價的充分必要條件是，存在全忠實函子
，並且對任意
，總有
，使得
同構於
。模範疇的等價理論是模論的一個重要組成部分，森田紀一(Morita Kiiti)於1958年討論了兩個模範疇的等價和對偶，得到了一系列深刻而又漂亮的結果，森田紀一的工作是經典的阿廷-韋德伯恩定理在模上的推廣，現在他的工作已發展成所謂的森田紀一理論。

全子範疇森田紀一對偶定理

森田紀一對偶定理(Morita theorem on duality)是模範疇對偶性的重要定理。設C和D是
和
的全子範疇，且
，又對任意
，若
，則必有
，這裏
。若
和
是對偶函子，則一定存在雙模
，使得：
1.
2.
3. C和D中每個模都是U自反模。
在一個模範疇中，不可能每一個模都是U自反模，所以模範疇的對偶只能在全子範疇之間存在 [1]  。

全子範疇塞爾子範疇

塞爾子範疇(Serre subcategory)是阿貝爾範疇的一種子範疇，它在同調代數等學科中有重要應用，也是定義商範疇的基礎概念。設C為阿貝爾範疇，D為C的全子範疇且滿足：對C中任意的正合列
，
當且僅當
且
(即，
當且僅當B的子對象與商對象都是D的對象)，此時稱D為C的塞爾子範疇，塞爾子範疇仍為阿貝爾範疇 [1]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002